Redigerer Bølgepakke (avsnitt)

==Gaussiske bølgepakker==

Basert på sine matematiske egenskaper har gaussiske bølgepakker viktige fordeler ved praktiske beregninger. I tillegg benyttes de ofte i [[kvantemekanikk]]en og spesielt i forbindelse med [[Heisenbergs usikkerhetsrelasjon]].. Slike bølgepakker har en form som er beskrevet ved '''Gauss-funksjonen''' som inngår i [[normalfordeling]]en.

For en bølge langs ''x''-aksen har en gaussisk bølgepakke sentrert rundt origo ved tiden ''t'' = 0 formen

: <math> \psi(x,0)  = e^{ik_0x} e^{-x^2/2\sigma} </math>

hvor parameteren ''σ'' gir kvadratet av bredden til pakken beskrevet ved Gauss-funksjonen. Dens Fourier-transformerte amplitude blir dermed

: <math> a(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dx e^{-x^2/2\sigma} e^{-i(k - k_0)x} = \sqrt{2\pi\sigma} e^{-\sigma(k - k_0)^2/2} </math>

og har også en normalfordeling. Hvis nå bølgen er beskrevet ved en ikke-dispersiv bølgeligning med fasehastighet ''c'', vil ''ω = ck''. Ved et senere tidspunkt blir da gitt den gaussiske bølgefunksjonen

: <math> \psi(x,t)  = e^{ik_0(x - ct)} e^{-(x - ct)^2/2\sigma} </math>

som beskriver en jevn forflytning med gruppehastighet lik fasehastighet slik at funksjonens form forblir uforandret.

===Kvantemekanikk===
[[Fil:Wave packet (dispersion).gif|right|thumb|300px|Formen til en bølgepakke med dispersjon forandrer seg med tiden.]]
Antas bølgefunksjonen i stedet å være styrt av den kvantemekaniske [[Schrödinger-ligning]]en for en fri partikkel, vil dens impuls ''p'' være forbundet med bølgetallet ''k'' ved [[materiebølger|de Broglies relasjon]] {{nowrap|''p {{=}} ħk''}} hvor ''ħ'' er  den reduserte [[Plancks konstant]]. På samme måte er energien til partikkelen {{nowrap|''E {{=}} p''<sup>2</sup>/2''m''}} når den har masse ''m'', være gitt ved vinkelfrekvensen til bølgen ifølge [[materiebølger|Einsteins relasjon]] {{nowrap|''E {{=}} ħω''}}. Det betyr at {{nowrap|''ω {{=}} ħk''<sup>2</sup>/2''m''}}.

Bølgetallet ''k''<sub>0</sub>&thinsp; tilsvarer at denne gaussiske bølgepakken beveger seg med konstant hastighet og kan for enkelhets skyld settes lik null. Det tilsvarer å betrakte en partikkel som er klassisk i ro. Da blir dens kvantemekaniske [[bølgefunksjon]] ved et senere tidspunkt<ref>B.H. Brandsen and C.J. Joachain, ''Quantum Mechanics'', Prentice Hall, New York (2000). ISBN 0-582-35691-1.</ref>

: <math> \psi(x,t) = \sqrt{2\pi\sigma} \int_{-\infty}^{\infty}{dk\over 2\pi}  e^{-\sigma k^2/2} e^{i(kx - \hbar k^2t/2m)} = {e^{-x^2/2\sigma(1 + i\hbar t/\sigma m)}\over\sqrt{1 + i\hbar t/\sigma m}}   </math>

Sannsynligheten for å finne partikkelen på et sted ''x'' er kvadratet av absoluttverdien til denne komplekse bølgefunksjonen. Dette vil igjen bli en normalfordelt sannsynlighetsfordeling, men med en med en effektiv parameter ''σ''(''t'')&thinsp;  som både er kompleks og varierer med tiden. Den har en absoluttverdi

: <math> |\sigma(t)| = \sigma\Big[1 + \Big({\hbar t\over\sigma m}\Big)^2\Big] </math>

som betyr at den gaussiske fordelingen blir flatere og flatere etter som tiden øker. Tilslutt går den mot null overalt når ''t >> t<sub>c</sub>&thinsp;'' hvor

: <math> t_c = {\sigma m\over\hbar} </math>

Dette er et rent kvantemekanisk resultat som betyr at om partikkelen plasseres i origo ved tiden ''t'' = 0, vil den ha en viss sannsynlighet for å finnes utenfor dette punktet ved et senere tidspunkt. Men for at dette skal kunne ha noen observable konsekvenser, må massen ''m'' være svært liten.

Betrakter man for eksempel et elektron med omtrentlig masse ''m'' = 10<sup>−27</sup>&thinsp;g som plasseres innen et lite område med utstrekning {{nowrap|√''σ'' {{=}} 10<sup>-10</sup>&thinsp;m}} som tilsvarer størrelsen til et [[atom]], så blir {{nowrap|''t<sub>c</sub>'' {{=}}  10<sup>-16</sup>&thinsp;s}}. Så for elektronet vil disse kvantemekaniske effektene opptre omtrent med en gang. Men for en makroskopisk partikkel med masse {{nowrap|''m'' {{=}} 1&thinsp;g}} som plasseres innen {{nowrap|√''σ'' {{=}} 10<sup>-6</sup>&thinsp;m}}, blir den karakteristiske tiden {{nowrap|''t<sub>c</sub>'' {{=}}  10<sup>+19</sup>&thinsp;s}} som er mer enn [[Kosmologi|Universets alder]] og derfor overhodet ikke merkbart.