Redigerer Ampères kraftlov (avsnitt)

===Ampères opprinnelige formulering===

I sin søken etter denne loven var Ampère inspirert av [[Newtons gravitasjonslov]] for vekselvirkningen mellom to massepunkt. Denne kraften avtar omvendt proporsjonalt med avstanden og er sentral, det vil at den er rettet langs forbindelseslinjen mellom dem. Kraften mellom større massefordelinger kunne så finnes fra en summasjon eller integrasjon av kreftene mellom enkelte massepunkt. I stedet for massepunkt antok Ampère at den magnetiske vekselvirkningen på samme måte kunne beskrives som en kraft mellom korte linjestykker ''Id''&thinsp;'''s''' som de strømførende ledningene kunne deles opp i. Den skulle være sentral og oppfylle [[Newtons lover|Newtons tredje lov]] om kraft og motkraft som like store og motsatt rettede. Men da strømelementene generelt kunne ha forskjellig orientering i rommet, måtte den nye loven forventes å være mer komplisert.

Det første utkast til loven ble fremlagt allerede i desember 1820. Hvis ''I''<sub>1</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub> og ''I''<sub>2</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>2</sub> er de to strømelementene med posisjoner '''r'''<sub>1</sub> og '''r'''<sub>2</sub>, vil de danne vinklene ''&theta;''<sub>1</sub> og ''&theta;''<sub>2</sub> med forbindelseslinjen mellom dem gitt ved vektoren {{nowrap|'''r''' {{=}}  '''r'''<sub>1</sub> -  '''r'''<sub>2</sub>}}. Utfra teoretiske og eksperimentelle betraktninger hadde Ampère kommet frem til at kraften  måtte ha en størrelse gitt ved

: <math> d^2F = k_m {2I_1I_2\over r^2}ds_1ds_2 (\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\omega + k\cos\theta_1\cos\theta_2) </math>

Her er ''k<sub>m</sub>'' en konstant avhengig av hvilket målesystem man benytter. I [[SI-systemet]] er ''k<sub>m</sub>'' = ''&mu;''<sub>0</sub>/4''&pi;''. Videre er ''&omega;'' den [[dihedral vinkel|dihedrale vinkelen]] mellom de to planene som forbindelseslinjen og strømelementene danner.<ref name = Tricker/> Den første delen av uttrykket dominerer kraften mellom to parallelle element som har, mens den andre gjelder for strømelement som ligger på samme linje og derfor har {{nowrap|''&theta;''<sub>1</sub> {{=}} ''&theta;''<sub>2</sub>}} = 0.  Konstanten ''k'' angir deres relative styrke. Opprinnelig mente Ampère at ''k'' = 0, men etter et par år med nærmere, eksperimentelle undersøkelser kom han frem til at ''k'' = -1/2.<ref name = Darrigol/>

I en presentasjon for vitenskapsakademiet i 1822 ga Ampère en ny versjon av sin formel. Ved å innføre vinkelen ''&epsilon;'' mellom strømelementene  ''I''<sub>1</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub> og ''I''<sub>2</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>2</sub> sier [[cosinussetningen]] i [[sfærisk geometri]] at

: <math> \cos\varepsilon = \cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2\cos\omega </math>

Dermed kan loven hans skrives som

: <math> d^2F = k_m {2I_1I_2\over r^2}ds_1ds_2 (\cos\varepsilon + h\cos\theta_1\cos\theta_2) </math>

hvor ''h = k'' - 1. Med ''k'' = -1/2 er da ''h'' = -3/2. Dette kan betraktes som den endelige form av Ampères magnetiske kraftlov.

Samtidig med dette etablerte Biot og Savart sin lov for det som man i dag kaller det magnetiske feltet. Selv om de hadde et annet, teoretisk utgangspunkt, ble deres resultat styrket ved gjensidig vekselvirkning med medlemmer av gruppen rundt Ampère.<ref name = Assis>A.K.T. Assis and J.P.M.C. Chaib, ''Ampère's Electrodynamics'', Apeiron, Montreal (2015). ISBN 978-1-987980-03-5.</ref>