Redigerer Affin geometri (avsnitt)

==Eksempel: Menelaos' teorem==

[[Fil:Menelaos's theorem 1.png|thumb|300px|Menelaos' teorem gjelder en [[linje]] som skjærer gjennom en [[trekant]] som her er ''ABC''.]]
Mange geometriske bevis som bare involverer rette linjer og deres skjæringspunkt, er enklere i affin geometri enn i [[euklidsk geometri]]. Et eksempel er [[Menelaos' teorem]] som omhandler forholdene mellom linjestykkene som oppstår når en linje skjærer gjennom en [[trekant]]. Er denne gitt ved de tre hjørnepunktene ''A'', ''B'' og ''C'', kan man angi skjæringspunktene ''D'', ''E'' og ''F'' med barysentriske koordinater på de tilsvarende sidene i trekanten. Da er  punktene {{nowrap|''D {{=}} aB + a'&thinsp;C''}} og {{nowrap|''E {{=}} bC + b'&thinsp;A''}} hvor man har {{nowrap|''a + a' {{=}} b + b' {{=}} 1''}}. Likedan ligger skjæringspunktet ''F'' på samme linje som ''A'' og ''B'' som betyr at {{nowrap|''F {{=}} cA + c'&thinsp;B''}} med {{nowrap|''c + c' {{=}} 1''}}. Men dette punktet ligger også på linjen gjennom hjørnene ''D'' og ''E&thinsp;'' slik at man må kunne skrive {{nowrap|''F {{=}} tD + t'&thinsp;E''&thinsp;}} med {{nowrap|''t + t' {{=}} 1''}}. Settes her inn uttrykkene for ''D'' og ''E'', får man betingelsen ''ta' = - t'&thinsp;b'' samtidig som at ''c = t'&thinsp;b'&thinsp;'' og ''c' = ta''&thinsp; ved å sammenligne koeffisientene foran ''A'' og ''B''. Elimineres herfra ''t'' og ''t','' står man igjen med betingelsen {{nowrap|''abc {{=}} - a'&thinsp;b'&thinsp;c'&thinsp;''}} for at de tre skjæringspunktene ligger på samme linje.

Dette resultatet kan skrives mer konkret ved å uttrykke de barysentriske koordinatene ved [[delingsforhold]]. For eksempel, så er forholdet {{nowrap|''a'/a {{=}} BD/DC''}} hvor linjestykket ''BD'' har en retning slik at {{nowrap|''BD {{=}} - DB''}}. I [[euklidsk geometri]] er dette forholdet lik forholdet mellom lengdene til de to linjestykkene, men det har også en veldefinert verdi i affin geometri. Betingelsen for at de tre punktene ''D'', ''E'' og ''F'' skal ligge på en rett linje er derfor

: <math>\frac{AF}{FB}  \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = - 1 </math>

Dette er [[Menelaos' teorem]]. Det tilsvarer [[Cevas setning]] som gir en lignende betingelse for at tre linjer fra hjørnene i en trekant skal gå gjennom samme punkt. I Menelaos' teorem er venstre side i betingelsen negativ da de to linjestykkene i delingsforholdet ''AF/FB'' er motsatt rettet. Det skyldes at punktet ''F'' ligger utenfor trekanten. Alltid når en linje skjærer en trekant, må et av skjæringspunktene ligge på en forlengelse av en av sidekantene.