Redigerer Vektoranalyse (avsnitt)

===Bruk av tensormetoder===

Slike derivasjonsregler er enklest å komme frem til ved å benytte metoder fra den enkleste [[tensor|tensorregning]] basert på [[Einsteins summekonvensjon]]. Den sier at i hvert uttrykk hvor to ulike indekser opptrer, skal man summere over disse. Slike indekser kalles derfor også for «summasjonsindekser».<ref name = Hay> G.E. Hay, ''Vector and Tensor Analysis'', Dover Publications, New York (1953). {{ISBN|0-486-60109-9}}.</ref> Notasjonsmessig er det da enklest å la de være tall slik at 1 tilsvarer {{nowrap|''x''<sub>1</sub> {{=}} ''x''}}, 2 tilsvarer {{nowrap|''x''<sub>2</sub> {{=}} ''y''}} og 3 tilsvarer {{nowrap|''x''<sub>3</sub> {{=}} ''z''}} i tre dimensjoner. En vektor med komponentene (''V''<sub>1</sub>,''V''<sub>2</sub>,''V''<sub>3</sub>) kan da skrives som {{nowrap|'''V''' {{=}} ''V<sub>k</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''k''</sub>}} = ''V''<sub>1</sub>&thinsp;'''e'''<sub>1</sub> + ''V''<sub>2</sub>&thinsp;'''e'''<sub>2</sub> + ''V''<sub>3</sub>&thinsp;'''e'''<sub>3</sub> når man summerer uttrykket over indeksen ''k'' for veridiene 1, 2 og 3. Resultatet er uavhengig av navnet til summasjonsindeksen og kunne like godt være skrevet som ''V<sub>i</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''i''</sub> eller ''V<sub>j</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''j''</sub>

Gradienten til den skalare funksjonen ''F''(''x,y,z'') blir nå '''&nabla;'''''F'' = '''e'''<sub>''i''</sub>&thinsp;&part;<sub>''i''</sub>''F'', mens divergensen til vektorfeltet '''A'''(''x,y,z'') er {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''A''' {{=}} &part;<sub>''j''</sub>&thinsp;''A<sub>j</sub>''.}} Herav følger for eksempel at

: <math>\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot(F\mathbf{A}) &= \partial_i(FA_i) = (\partial_iF)A_i + F(\partial_iA_i)\\ &= (\boldsymbol{\nabla}F)\cdot\mathbf{A} + F\,\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} \end{align} </math>

ved bruk av den vanlige regelen for derivasjon av et produkt og at [[indreprodukt]]et til to vektorer {{nowrap|'''A''' {{=}} ''A<sub>i</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''i''</sub>&thinsp;}} og {{nowrap|'''B''' {{=}} ''B<sub>j</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''j''</sub>&thinsp;}} nå er '''A'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''B''' = ''A<sub>k</sub>''&thinsp;''B<sub>k</sub>''.

På samme måte som at kryssproduktet av to vektorer '''A''' og '''B''' kan uttrykket ved det antisymmetriske [[Levi-Civita-symbol]]et som {{nowrap|'''A'''&thinsp;&times;&thinsp;'''B'''}} = {{nowrap|''&epsilon;''<sub>''ijk''</sub>''A<sub>i</sub>''&thinsp;''B<sub>j</sub>''&thinsp;'''e'''<sub>''k''</sub>}} der {{nowrap|''&epsilon;''<sub>123</sub> {{=}} +1}}, kan curl til et vektorfelt skrives på den kompakte måten

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A} = \varepsilon_{ijk}\partial_iA_j\mathbf{e}_k </math>

hvor man summerer over tre par med indekser.<ref name = Hay/> For eksempel kan man herav regne ut direkte curl til produktet ''F''&thinsp;'''A'''. Det blir 

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(F\mathbf{A}) = \varepsilon_{ijk}\partial_i (FA_j)\mathbf{e}_k = \varepsilon_{ijk}(\partial_iF)A_j \mathbf{e}_k + \varepsilon_{ijk}F(\partial_iA_j)\mathbf{e}_k</math>

Her representerer den første termen vektorproduktet ('''&nabla;'''''F'')&thinsp;&times;&thinsp;'''A''', mens den andre termen er ''F''&thinsp;('''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A''') slik at den tidligere formelen er etablert.

For utledningen av [[Elektromagnetisk felt#Bølgeligninger|bølgeligningen]] for elektromagnetiske felt behøves formelen

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla}( \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A}) - \nabla^2\mathbf{A} </math>

På komponentform følger dette fra

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \varepsilon_{ijk}\partial_i(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})_j\mathbf{e}_k = \varepsilon_{ijk}\partial_i (\varepsilon_{mnj}\partial_mA_n)\mathbf{e}_k </math>

Her tilfredsstiller Levi-Civita-symbolet [[Levi-Civita-symbol#Tre dimensjoner|identiteten]] 

: <math> \varepsilon_{ijk}\varepsilon_{mnj} = \delta_{in}\delta_{km} - \delta_{im}\delta_{kn} </math>

hvor [[Kronecker-delta|Kronecker-symbolet]] ''&delta;<sub>mn</sub>'' er 1 eller 0 avhengig av om de to indeksene er like eller ulike. Dermed blir

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \mathbf{e}_k\partial_k(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A}) - \mathbf{e}_k\nabla^2 A_k </math>

som er resultatet. Ved bruk av den samme identiteten for Levi-Civita-symbolet kombinert med produktregelen finner man på samme vis det mer kompliserte resultatet

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = \mathbf{A}(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{A}) + (\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A} - (\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} </math>

og andre, lignende resultat.<ref name="Zangwill">A. Zangwill, ''Modern Electrodynamics'', Cambridge University Press, Cambridge (2013). {{ISBN|978-0-521-89697-9}}.</ref>

Slike formler er her utledet ved bruk av [[kartesisk koordinatsystem|kartesiske koordinater]]. Men de kan omskrives til å være gyldige også i [[krumlinjete koordinater]] ved standard [[Krumlinjete koordinater#Vektorderivasjon|koordinattransformasjoner]]. Summekonvensjonen til Einstein og de tilsvarende tensormetodene som dermed kan benyttes, gjør da beregningene enda mer oversiktlige.<ref name = Spiegel/>