Redigerer Termodynamikkens første hovedsetning (avsnitt)

===Termodynamisk deriverte===

Hvis partikkeltallet ''N&thinsp;'' i systemet er konstant, blir første hovedsetning på differensiell form

: <math> dU = TdS - PdV  </math>

Den viser at entropi ''S&thinsp;'' og volum ''V&thinsp;'' er ''naturlige'' variable for den indre energien ''U''. [[Josiah Willard Gibbs|Willard Gibbs]] omtalte den som «termodynamikkens fundamente ligning» og gjorde mye ut av den. Da denne energien er en [[termodynamisk potensial|tilstandsfunksjon]], vil det finnes en matematisk sammenheng ''U'' = ''U''(''S,V''). Ved [[derivasjon|partiell derivasjon]] er da

: <math> dU = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V dS + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S dV </math>

Når disse to differensialene sammenlignes, finner man for de deriverte

: <math> \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V = T, \;\;\;  \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S = - P </math>

Da to partielle derivasjoner etter hverandre kan byttes om slik at <math> \partial^2 U/\partial S\partial V = \partial^2 U/\partial V\partial S, </math> resulterer det i den termodynamiske betingelsen

: <math>  \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -  \left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_V </math>
 
Dette er et eksempel på en [[Maxwell-relasjon]]. Den og mange lignende har stor betydning for praktisk utnyttelse av de termodynamiske lovene.<ref name = Castellan/>