Redigerer
Stereografisk projeksjon
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Høyere dimensjoner== En ''N''-dimensjonal sfære med radius ''R'' = 1 i et euklidsk rom med ''N'' + 1 dimensjoner er beskrevet ved ligningen {{nowrap|'''x'''<sup> 2</sup> + ''z''<sup> 2</sup> {{=}} 1}} hvor den ''N''-dimensjonale vektoren '''x''' = {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x<sub>N</sub>'')}}. Hypersfæren kan stereografisk projiseres på et ''N''-dimensjonalt hyperplan som står vinkelrett på ''z''-aksen på samme måte som for den todimensjonale kuleflaten. Hvis '''X''' = {{nowrap|(''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ..., ''X<sub>N</sub>'')}} er kartesiske koordinater i dette planet, er projeksjonen gitt ved avbildningen {{nowrap|'''X''' {{=}} '''x'''/(1 - ''z'')}}. Den inverse transformasjonen er som for {{nowrap|''N'' {{=}} 2}} dimensjoner : <math> (\mathbf{x}, z) = \left({2\mathbf{X}\over 1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X}}, \; {\mathbf{X}\cdot\mathbf{X} - 1\over 1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X}} \right) </math> Det kvadrerte linjeelementet {{nowrap|''dσ''<sup> 2</sup> {{=}} ''d'' '''x'''<sup>2</sup> + ''dz''<sup> 2</sup>}} tar derfor samme form og blir : <math> d\sigma^2 = {4d\mathbf{X}\cdot d\mathbf{X}\over (1 + \mathbf{X}\cdot\mathbf{X})^2} = {4(dX_1^2 + dX_2^2 + \cdots + dX_N^2)\over (1 + X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_N^2)^2} </math> Hvis projeksjonsplanet tangerer kuleflaten i stedet for å gå gjennom dens sentrum, vil det tilsvare å la '''X''' → '''X'''/2 i denne metrikken. ===Ikke-lineær sigmamodell=== Den [[sterk kjernekraft|sterke kjernekraften]] som virker mellom [[nukleon]]er når de har stor avstand seg i mellom, kan forklares ved at de kobler til [[pi-meson|pimeson]]er. Deres masse er så liten at den kan sees bort fra i mange sammenhenger. Men disse tre partiklene '''π''' = (''π''<sup> +</sup>,''π''<sup> 0</sup>,''π''<sup> -</sup>) vekselvirker også med hverandre på en måte som kan beskrives ved at de tilhører en gruppe med fire partikler ('''π''',''σ'') som oppfyller kravet {{nowrap|'''π'''⋅'''π''' + ''σ''<sup> 2</sup> {{=}} ''f<sub>π</sub>''<sup>2</sup>}} hvor ''f<sub>π</sub> '' er en konstant. Her beskriver ''σ'' en sigmapartikkel med lignende egenskaper som [[Higgs-partikkel]]en for den [[svak kjernekraft|svake kjernekraften]]. Verdiene av disse fire [[kvantefeltteori|kvantefeltene]] tar derfor verdier som ligger på en 3-dimensjonal kuleflate med radius ''f<sub>π</sub> '' i et fiktivt, 4-dimensjonalt rom. Dette kalles for den ikke-lineære sigmamodellen.<ref name = AFFR> V. de Alfaro, S. Fubini, G. Furlan and C. Rossetti, ''Currents in Hadron Physics'', North-Holland Publishing Company, Amsterdam (1973). ISBN 0-7204-0212-3.</ref> I [[Hamiltons virkningsprinsipp#Kontinuerlig system|Lagrange-funksjonen]] : <math> {\mathcal L} = {1\over 2} (\partial_\mu\boldsymbol{\pi})^2 + {1\over 2} (\partial_\mu\sigma)^2 </math> for disse fire feltene kan nå bare tre av dem betraktes som uavhengige på grunn av betingelsen {{nowrap|'''π'''⋅'''π''' + ''σ''<sup> 2</sup> {{=}} ''f<sub>π</sub>''<sup>2</sup>}}. Ved en stereografisk projeksjon av denne 3-dimensjonale sfæren på et hyperplan som står vinkelrett på ''σ''-aksen og tangerer sfæren, vil punktet ('''π''',''σ'') avbildes på '''Π''' = 2'''π''' /(''f<sub>π</sub>'' - ''σ''). Når disse koordinatene benyttes i Lagrange-funksjonen, går den da over til : <math> {\mathcal L} = {1\over 2} {(\partial_\mu\boldsymbol{\Pi})^2 \over (1 + \boldsymbol{\Pi}\cdot\boldsymbol{\Pi}/4f_\pi^2)^2} </math> og inneholder dermed bare kvantefeltene for pimesonene. Når disse har verdier som er mindre enn konstanten ''f<sub>π</sub> '', kan nevneren utvikles i en [[Taylor-rekke]]. Det gir : <math> {\mathcal L} = {1\over 2} (\partial_\mu\boldsymbol{\Pi})^2 - {1\over 4f_\pi^2} (\boldsymbol{\Pi}\cdot\boldsymbol{\Pi}) (\partial_\mu\boldsymbol{\Pi})^2 + \cdots </math> hvor den første termen beskriver den frie bevegelsen til pimesonene og den andre deres gjensidige vekselvirkninger.<ref name = AFFR/>
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon