Redigerer Runge-Lenz-vektor (avsnitt)

==Poisson-klammer==

Istedenfor [[Newtons bevegelseslover]] kan man benytte de som inngår i den mer generelle formalismen for [[Hamilton-mekanikk]]. Posisjonen og impulsen til partikkelen følger da lovene

: <math> {d\mathbf{r}\over dt} = [\mathbf{r}, H], \;\;  {d\mathbf{p}\over dt} = [\mathbf{p}, H] </math>

hvor Hamilton-funksjonen <math> H = \mathbf{p}^2\!/2m - k/r \, </math>  er energien ''E&thinsp;'' til partikkelen. Disse bevegelseslovene  er uttrykte ved  [[Hamilton-mekanikk#Poisson-klammer|Poisson-klammer]]  som for to generelle variable <math> A(\mathbf{r},\mathbf{p}) </math> og <math> B(\mathbf{r},\mathbf{p}) </math> er definert som

: <math> [A, B] = {\partial A\over\partial x_n}{\partial B\over\partial p_n} - {\partial B\over\partial x_n}{\partial A\over\partial p_n} </math>

hvor man på høyre side summerer over de to like indeksene. Den fundamentale  eller '''kanoniske''' Poisson-klammen er <math> [x_m, p_n] = \delta_{mn} </math> når den uttrykkes ved [[Kronecker-delta]]et. Man har da generelt at  <math> [p_k, A(\mathbf{r},\mathbf{p})] = -\partial A/\partial x_k. </math> Herav følger at  <math> [\mathbf{p}, H] = -k\mathbf{r}/r^3 </math>  som er Newtons andre lov.<ref name = Goldstein/>

Ved bruk av  det antisymmetriske [[Levi-Civita-symbol]]et kan komponentene til dreieimpulsen '''L''' = '''r'''&thinsp;&times;&thinsp;'''p''' skrives som {{nowrap|''L<sub>k</sub>'' {{=}} ''&epsilon;<sub>kmn</sub>&thinsp;x<sub>m</sub>&thinsp;p<sub>n</sub>''}} når man igjen summerer over like indekser. Dermed blir  {{nowrap|[''L<sub>k</sub>'', 1/''r''&thinsp;] {{=}} 0}}  og  {{nowrap|[''L<sub>k</sub>'', '''p'''<sup>2</sup>] {{=}} 0}} når man gjør bruk av en nyttige identiteten {{nowrap|[''A'', ''BC''] {{=}} ''B''&thinsp;[''A'',''C''] + [''A'',''B'']''C''}}. Dreieimpulsen er derfor en konstant vektor da  {{nowrap| ['''L''', ''H''] {{=}} 0}}. Generelt er Poisson-klammen for '''L''' med alle [[skalar]]e størrelser lik med null.<ref name = Orear/>

Da man har at <math> [L_m, x_n] = \varepsilon_{mnk} x_k </math> og <math> [L_m, p_n] = \varepsilon_{mnk} p_k </math> vil man for en generell vektor '''V''' ha Poissson-klammen <math> [L_m, V_n] = \varepsilon_{mnk} V_k </math>. Dette må gjelde også for '''L''' selv som verifiseres ved direkte utregning. Benytter man da  sammenhengen <math> \varepsilon_{kij}\varepsilon_{kmn} = \delta_{im}\delta_{jn}  -  \delta_{in}\delta_{jm}, </math> finner man

: <math> [L_m, L_n] = x_mp_n - x_np_m = \varepsilon_{mnk} L_k </math>

Dette må gjelde også for Runge-Lenz-vektoren med komponenter 

: <math> A_n = \varepsilon_{nmk}L_m p_k - mk {x_n\over r} </math>

som gir

: <math> [L_m, A_n] = \varepsilon_{mnk} A_k </math>

ved direkte utregning. Denne vektoren er også bevart slik at {{nowrap| ['''A''', ''H''] {{=}} 0}}. Det følger på samme måte fra 

: <math>\begin{align}  & \left[A_n, H\right] =  - k\,\varepsilon_{nmk} L_m \left[p_k, {1\over r}\right] -  k \left[{x_n\over r} , p_m \right]p_m\\ &= {k\over r^3} (\mathbf{L}\times\mathbf{r})_n - {k\over r^3}\left[p_n(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}) - x_n(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\right] = 0 \end{align} </math>

fordi de to termene på høyre side kansellerer hverandre. Det betyr igjen at Poisson-klammen {{nowrap|[''A<sub>m</sub>'',''A<sub>n</sub>'']}} også er en bevart størrelse. Direkte utregning gir nå at

: <math>  [A_m, A_n]  = - 2mH \varepsilon_{mnk} L_k </math>

som bekrefter at dette er tilfelle.

For alle sentralsymmetriske system der potensialet ''V'' = ''V''(''r''&thinsp;) er dreieimpulsen '''L''' en bevart vektor. At Kepler-problemet har i tillegg en annen, bevart vektor '''A''' skyldes at ''V&thinsp;'' varierer omvendt proporsjonalt med avstanden ''r''. I den kvantemekaniske beskrivelsen av [[hydrogenatom]]et vil det av samme grunn også finnes to bevarte størrelser '''L''' og '''A''' som har [[Kvantemekanikk#Heisenbergs matrisemekanikk|kommutatorer]] med samme form som disse klassiske Poisson-klammene. Det var det [[Wolfgang Pauli]] benyttet høsten 1925 til å beregne energinivåene i dette atomet rent algebraisk noen måneder før [[Erwin Schrödinger]] fant det samme resultatet ved å løse sin [[Schrödinger-ligning]] med analytiske metoder.<ref name = Pauli> W. Pauli, ''Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik'',  Zeitschrift für Physik '''36''' (5), 336–363 (1926). [http://sphics.com/tc/201801-SIU-P530A/files/Pauli-1926-On-the-spectrum-of-hydrogen-atom--English-translation.pdf PDF] </ref>