Redigerer Potensiell energi (avsnitt)

===Energibevarelse===

Et fysisk system som er styrt av konservative krefter, har en total energi som er uforandret ettersom det forandrer seg med tiden. For et ikke-relativistisk system følger det direkte fra [[Newtons andre lov]] som bestemmer denne tidsutviklingen. Det kan enklest vises når systemet består av kun en partikkel med masse ''m'' som påvirket av en konservativ kraft. Bevegelsesligningen uttrykt ved hastigheten '''v''' kan da skrives som  {{nowrap|''md''&thinsp;'''v'''/''dt'' {{=}} - '''&nabla;'''''U''}}. I et infinitesemalt lite tidsrom ''dt'' vil partikkelen bevege seg en tilsvarende liten strekning {{nowrap|''d''&thinsp;'''r''' {{=}} '''v''&thinsp;'''dt''}}. Multipliseres denne med bevegelsesligningen, kan den omskrives til {{nowrap|''m''/2''dv''<sup>2</sup> {{=}} - '''&nabla;'''''U''&sdot;''d''&thinsp;'''r'''}} = -''dU'' etter å ha benyttet at {{nowrap|'''v'''&sdot;''d''&thinsp;'''v''' {{=}} (1/2)''d''('''v'''&sdot;'''v''')}} =  {{nowrap|(1/2)''dv''<sup>2</sup>}}. Beveger partikkelen seg nå et endelig strekning  '''r'''<sub>1</sub> &rarr; '''r'''<sub>2</sub> slik at dens hastighet forandres med '''v'''<sub>1</sub> &rarr; '''v'''<sub>2</sub> , finner man så ved direkte integrasjon at

: <math>  {m\over 2} \int_{\mathbf{v}_1}^{\mathbf{v}_2} dv^2 = {m\over 2}\Big(v_2^2-  v_1^2\Big) =  -\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\boldsymbol{\nabla}U\cdot d\mathbf{r} =  U(\mathbf{r}_1) - U(\mathbf{r}_2) </math>

Dette betyr at den totale energien, som her består av summen av kinetisk og potensiell energi, er konstant under bevegelsen,

: <math>  {1\over 2}m\mathbf{v}_1^2 + U(\mathbf{r}_1) = {1\over 2}m\mathbf{v}_2^2 + U(\mathbf{r}_2) </math>

Man sier at den totale energien er konservert eller bevart. Dette er den mekaniske delen av det mer generelle [[energiprinsippet]].<ref name = Serway/>