Redigerer
Plücker-koordinater
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Linjegeometri== En linje som har en retningsvektor med lengde ''d'' = |'''d'''| = 0, har en avstand fra origo som formelt er uendelig stor. Den sies å ligge i det uendelige fjerne. Selv om slike linjer vanligvis har liten praktisk interesse, kan de likevel behandles på samme måte som linjer med endelig avstand ved å tenke seg at de befinner seg i et [[projektivt rom]]. På den måten kan man utvide det [[euklidsk rom|euklidske rommet]] '''E'''<sup>3</sup> hvor hvert punkt har koordinater {{nowrap|'''x''' {{=}} (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>),}} til det tredimensjonale, projektive rommet '''RP'''<sup>3</sup> hvor hvert punkt har fire koordinater, {{nowrap|'''X''' {{=}} ('''x''',''x''<sub>4</sub>).}} Disse er [[Projektiv geometri#Homogene koordinater|homogene]] slik at effektivt er dette rommet også gitt ved tre, uavhengige koordinater. Punkter i det euklidske rommet kan da gjenfinnes ved å sette {{nowrap|''x''<sub>4</sub> {{=}} 1}}. De homogene koordinatene til punktet '''X''' = (''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>,''x''<sub>4</sub>) i '''RP'''<sup>3</sup> kan betraktes som å gi retningen til en linje gjennom origo i det euklidske rommet '''E'''<sup>4</sup>. Likedan er en linje i '''RP'''<sup>3</sup> bestemt av et todimensjonalt plan gjennom origo i '''E'''<sup>4</sup>. Dette skjærer planet {{nowrap|''x''<sub>4</sub> {{=}} 1}} i det som kan betraktes som den euklidiske delen av linjen.<ref name = Coxeter> H.S.M. Coxeter, ''Projective Geometry'', Springer-Verlag, New York (1987). ISBN 978-0-387-40623-7.</ref> ===Plücker-matrisen=== Denne sammenhengen gjør det mulig å karakterisere en generell linje i tre dimensjoner ved koordinatene som spesifiserer et plan gjennom origo i '''E'''<sup>4</sup>. Et slikt plan som tilsvarer en linje gjennom de euklidske punktene '''x''' og '''y''', er definert ved det antisymmetriske [[Grassmann-algebra#Kileproduktet|ytreproduktet]] {{nowrap|'''X''' ∧ '''Y'''.}} Hvis nå '''e'''<sub>1</sub>, '''e'''<sub>2</sub>, '''e'''<sub>3</sub> og '''e'''<sub>4</sub> er [[Basis (matematikk)|basisvektorer]] i '''E'''<sup>4</sup>, blir denne bivektoren : <math> \mathbf{P} = \mathbf{X} \wedge \mathbf{Y} = X_iY_j\, \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j = {1\over 2}P_{ij}\, \mathbf{e}_i\wedge\mathbf{e}_j </math> og derfor har komponenter : <math> P_{ij} = X_iY_j - X_jY_i </math> De utgjør en antisymmetrisk, 4×4 [[matrise]] hvor alle diagonale komponenter er null og kalles ''Plücker-matrisen''. For en euklidsk linje mellom punktene '''x''' og '''y''' som begge har fjerde komponent ''x''<sub>4</sub> = ''y''<sub>4</sub> = 1, gjenfinner man dermed de tidligere Plücker-koordinatene. Retningsvektoren er gitt som {{nowrap|'''d''' {{=}} (''P''<sub>41</sub>,''P''<sub>42</sub>,''P''<sub>43</sub>)}}, mens de resternde komponentene utgjør avstandsvektoren {{nowrap|'''m''' {{=}} (''P''<sub>23</sub>,''P''<sub>31</sub>,''P''<sub>12</sub>)}}. Planet som bivektoren {{nowrap|'''X''' ∧ '''Y'''}} definerer, kan likså godt formes av to andre vektorer som ligger i samme planet. Disse er da gitt som lineærkombiniasjonene {{nowrap|'''X' ''' {{=}} ''α'' '''X''' + ''β'' '''Y'''}} og {{nowrap|'''Y' ''' {{=}} ''δ'' '''X''' + ''γ'' '''Y'''}}. Deres kileprodukt gir nå en ny bivektor : <math> \mathbf{P}' = \mathbf{X}' \wedge \mathbf{Y}' = (\alpha\gamma - \beta\delta) \mathbf{X} \wedge \mathbf{Y} </math> når man benytter at kileproduktene {{nowrap|'''X''' ∧ '''X''' {{=}} '''Y''' ∧ '''Y'''}} = 0. Alle komponentene vil dermed blir multiplisert ved den samme konstanten, uten at bivektorens geometriske innhold forandres. De seks Plücker-koordinatene er derfor homogene koordinater i et projektivt rom '''PR'''<sup>5</sup>. Hver linje i det tredimensjonale rommet tilsvarer derfor et punkt i dette femdimensjonale rommet.<ref name = Pedoe/> Plücker-matrisene '''P' ''' som tilsvarer de to vektorene '''X' ''' og '''Y'''' i samme planet som '''X''' og '''Y''', vil nå måtte oppfylle {{nowrap|'''P''' ∧ '''P' ''' {{=}} 0}}. Da dette kileproduktet bare har en komponent i retning {{nowrap|'''e'''<sub>1</sub> ∧ '''e'''<sub>2</sub> ∧ '''e'''<sub>3</sub> ∧ '''e'''<sub>4</sub>,}} må den være null. Ved direkte utregning finner man da at : <math> P_{23}P'_{41} + P_{31}P'_{42} + P_{12}P'_{43} + P'_{23}P_{41} + P'_{31}P_{42} + P'_{12}P_{43} = 0 </math> Ved here å sette inn '''P''' = ('''d''' : '''m''') og tilsvarende for '''P'''', kan dette skrives som '''m'''⋅'''d' ''' + '''m''''⋅'''d''' = 0. Det er betingelsen for at de to tilsvarende, tredimensjonale linjene skal ligge i samme planet. ===Klein-kvadrikken=== På samme måte må man for en og samme linje ha at '''P''' ∧ '''P''' = ('''X''' ∧ '''Y''')∧('''X''' ∧ '''Y''') = - '''Y''' ∧ '''X''' ∧ '''X''' ∧ '''Y''' = 0. Ved å sette '''P''' = '''P'''' i resultatet for {{nowrap|'''P''' ∧ '''P' '''}} må Plücker-koordiantene oppfylle : <math> P_{23}P_{41} + P_{31}P_{42} + P_{12}P_{43} = 0 </math> Denne ekstra betingelsen er ekvivalent med {{nowrap|'''d''' ⋅ '''m''' {{=}} 0}} i det euklidske rommet '''E'''<sup>3</sup>. Når man derfor betrakter de seks komponentene til Plücker-matrisen '''P''' som homogene koordinater for et punkt i det femdimensjonale rommet '''PR'''<sup>5</sup>, vil bare de punktene som oppfyller denne ekstra betingelsen tilsvare en linje i det tredimensjonale rommet. De tillatte punktene danner derfor et firedimensjonalt underrom. Da det er gitt ved en [[andregradsflate|kvadratisk ligning]] som koordinatene må oppfylle, kalles det vanligvis for ''Klein-kvadrikken'' etter [[Felix Klein]].<ref name = Todd> J.A. Todd, [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.$b528426&view=1up&seq=7 ''Projective and Analytical Geometry''], Pitman Publishing Corporation, New York (1965). ISBN 0-2734-2652-4.</ref> Man kan få et bedre bilde av denne firedimensjonale kvadrikken ved å benytte et nye koordinater som ble innført av Klein.<ref name = Baralic> D. Baralic, [http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/27/tm1428.pdf ''How to understand Grassmannians?''], The Teaching of Mathematics, '''14'''(2), 147–157 (2011).</ref> Da Plücker-koordinatene er antisymmetriske, kan man skrive {{nowrap|''P''<sub>23</sub> {{=}} ''p'' + ''q''}}, {{nowrap|''P''<sub>41</sub> {{=}} ''p'' - ''q''}}, {{nowrap|''P''<sub>31</sub> {{=}} ''s'' + ''t''}}, {{nowrap|''P''<sub>42</sub> {{=}} ''s'' - ''t''}}, {{nowrap|''P''<sub>12</sub> {{=}} ''u'' + ''v''}} og {{nowrap|''P''<sub>43</sub> {{=}} ''u'' - ''v''}}. Plücker-betingelsen tar da formen : <math> p^2 + s^2 + u^2 = q^2 + t^2 + v^2 </math> som er ligningen for Klein-kvadrikken i '''PR'''<sup>5</sup>. Den kan derfor oppfattes som definert ved de to ligningene {{nowrap|''p''<sup> 2</sup> + ''s''<sup> 2</sup> + ''u''<sup> 2</sup> {{=}} ''R''<sup> 2</sup>}} og {{nowrap|''q''<sup> 2</sup> + ''t''<sup> 2</sup> + ''v''<sup> 2</sup> {{=}} ''R''<sup> 2</sup>}} der ''R '' er en parameter. Da hver av disse beskriver en todimensjonal kuleflate S<sup>2</sup>, kan man tenke seg Klein-kvadrikken som den firedimensjonale mangfoldigheten S<sup>2</sup>× S<sup>2</sup>. Det må forstås på lignende måte som at en todimensjonal [[torus]] eller smultring kan [[topologi]]sk betraktes som produktet S<sup>1</sup>× S<sup>1</sup> av to sirkler.<ref name = Todd/>
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon