Redigerer Maxwell-Boltzmann statistikk (avsnitt)

==Indre energi==

Resultatet for partikkefordellngen som har den største sannsynllighten, beskriver systemet når det er i [[termodynamisk likevekt]]. Det har da en bestemt temperatur og tilsvarer en statistisk  beskrivelse i det [[Kanonisk ensemble|kanoniske ensemblet]]. Energien til systemet er ikke fiksert, men har en forventningsverdi

: <math> \langle E \rangle = \sum_r n_r E_r  = {N\over Z}  \sum_r g_r \, e^{-\beta E_r} </math>

Fra definisjonen til partisjonsfunksjonen ''Z&thinsp;'' følger at den er

: <math>  U = \langle E \rangle =  - {N\over Z}  {\partial\over\partial\beta}  Z = -  N {\partial\over\partial\beta} \ln Z</math> 

og kan identifiseres med systemets [[indre energi]]. Denne kan skrives som <math> U = N E_{mid} </math>  hvor den midlere energien til hver partikkel er  gitt ved <math> E_{mid} = -(\partial/\partial\beta) \ln Z.</math>  Da den indre energien er proporsjonal med antall partikler i systemet, er den derfor som forventet en [[Intensive og ekstensive egenskaper|ekstensiv]] størrelse.

På samme måte kan den forventete verdi av en vilkårlig funksjon <math> f(E_r) </math> defineres som 

: <math>  \langle f \rangle = \sum_r n_r f(E_r) </math>

Hvis dette for eksempel benyttes til å beregne forventningsverdien til kvadratet av energien til en partikkel, vil det ikke være lik med kvadratet av middelverdien ''E<sub>mid</sub>''. Selv om systemet er i termisk likevekt, vil de forventede verdiene «fluktuere» rundt sine middelverdier.<ref name = Hemmer/>

===Fri partikkel===
[[Fil: Maxwell, James Clerk – Theory of heat, 1872 – BEIC 12187186.jpg|thumb|200px|Maxwells lærebok om varmeteori fra 1872.]]
En mikrotilstand for en partikkel i [[klassisk mekanikk]] er gitt ved dens posisjonen '''r''' = {{nowrap|(''x'', ''y'', ''z'')}} og [[Bevegelsesmengde|impuls]] '''p''' = {{nowrap|(''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'').}} Dette er alle kontinuerlige variabel slik at en summation over disse tilstandene må erstattes med en [[integral|integrasjon]]. Hvordan dette i detalj skal utføres, ble først avklart ved etablering av kvantemekanikken.  Den sier at  en makrotilstand med energi ''E''('''p''','''r''')  vil inneholde {{nowrap|''g<sub>E</sub>'' {{=}}  ''d''<sup>&thinsp;3</sup>''r''&thinsp;''d''<sup>&thinsp;3</sup>''p''&thinsp;/''h''<sup>&thinsp;3</sup>}} mikrotilstander hvor ''h&thinsp;'' er [[Plancks konstant]].<ref name = Griffiths/>

For en fri partikkel med masse ''m&thinsp;'' er energien ''E'' = ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m&thinsp;'' uavhengig av dens posisjon. Integralet over disse variable gir derfor størrelsen av volumet ''V&thinsp;'' hvor partikkelen befinner seg.  Dens partisjonsfunksjon blir dermed

: <math> Z = {V\over h^3} \int\! d^3p \,e^{- \beta p^2/2m} = {V\over h^3} \left({2\pi m\over\beta}\right)^{3/2} </math>

da det tredimensjonale impulsintegralet er et produkt av tre [[Gauss-integral]]. Det betyr at <math> \ln Z = - (3/2)\ln \beta + \cdots </math> slik at midlere  partikkelenergi <math> E_{mid} = 3/(2\beta) . </math> Fra  [[kinetisk teori]] er det kjent at denne verdien må være <math> (3/2) k_BT </math> slik at man må ha <math> \beta = 1/k_BT .</math> Dette resultatet for parameteren <math> \beta </math> er her utledet for en gass av frie partikler, men må alltid opptre på denne måten uansett hvilket system man beskriver ved Maxwell-Boltzmann statistikk.

===Partisjonsfunksjon===

Det er vanlig å skriva denne optimale fordelingen på en litt annen måte. Den fremkommer fra det totale partikkeltallet ''N&thinsp;''  som nå blir

: <math> N = \sum_r n_r = e^{- \alpha} \sum_r g_r e^{-\beta E_r} </math>

Derfor kan man skrive ''e<sup>&thinsp;-&alpha;</sup>'' = ''N''/''Z&thinsp;'' hvor ''partisjonsfunksjonen'' ''Z&thinsp;'' er definert ved summen

: <math> Z =  \sum_r g_r e^{-\beta E_r} </math>

Sannsynligheten for å finne en partikkel med energi ''E<sub>r</sub>&thinsp;'' er  nå ''p<sub>r</sub>&thinsp;'' = ''n<sub>r</sub>''/''N&thinsp;'' eller

: <math> p_r = {1\over Z} g_r \, e^{-\beta E_r} </math>

Som forventet er den identisk med den statistiske [[Boltzmann-fordeling]]en som kan utledes på flere forskjellige måter. Derfor har man at parameteren {{nowrap|''&beta;'' {{=}} 1/''k<sub>B</sub>T&thinsp;''}} kan uttrykkes ved systemets temperatur ''T&thinsp;'' og [[Boltzmanns konstant]] ''k<sub>B</sub>''. Det følger fra en beregning av partiklenes midlere energi som kan identifiseres med gassens [[indre energi]].<ref name = Hemmer>P.C. Hemmer, ''Termisk Fysikk'', Tapir Forlag, Trondheim (1989). ISBN 82-519-0929-5.</ref>