Redigerer Magnetisering (avsnitt)

===Matematisk utledning===

Fra definisjonen av magnetisering følger at et differensielt volumelement ''dV'' av materialet har et [[magnetisk dipol]]moment {{nowrap|''d''&thinsp;'''m''' {{=}} '''M'''''dV''}}.  Befinner det seg i posisjon '''r'&thinsp;''', vil det gi opphav til et [[magnetisk felt|magnetisk vektorpotensial]]

: <math> d\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}{d\mathbf{m}(\mathbf{r'})\times(\mathbf{r} - \mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} </math>

i punktet '''r'''. Det totale potensialet fra hele det magnetiserte materialet kan herav finnes ved integrasjon som så gjør det mulig å beregne det resulterende '''B'''-feltet.  Ved å benytte at man kan skrive

: <math> {\mathbf{r} - \mathbf{r'} \over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} =  \boldsymbol{\nabla'}{1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|},  </math>

er dermed vektorpotensialet gitt ved integralet

: <math> \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\int dV'\; \mathbf{M}(\mathbf{r'}) \times \boldsymbol{\nabla'}{1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

Her kan nå integranden skrives om ved å bruke identiteten

: <math>  \mathbf{v}\times\boldsymbol{\nabla}\phi  =  \phi\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v} - \boldsymbol{\nabla}\times \phi\mathbf{v} </math>

fra [[vektoranalyse]]n for en vilkårlig funksjon <math>\phi</math> og vektorfelt <math>\mathbf{v}</math>. Ved å velge <math>\phi = 1/|\mathbf{r} - \mathbf{r'}| </math> gir denne resultatet<ref name =RM/>

: <math> \mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{\mu_{0}}{4\pi}\int dV'\;{\boldsymbol{\nabla'}\times \mathbf{M}(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|}  + \frac{\mu_{0}}{4\pi}\int dS'\; { \mathbf{M}(\mathbf{r'})\times\mathbf{n}\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

Her er det siste leddet et integral over flaten med normal '''n''' som omslutter det magnetiserte materialet. Det fremkommer ved bruk av [[Stokes' teorem]] på utvidet form som tillater omskrivningen

: <math>   \int dV'\;\boldsymbol{\nabla'}\times {\mathbf{M}(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} =  \int dS'\;{\mathbf{n}\times\mathbf{M}(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

Fra uttrykket for vektorpotensialet kan man identifisere det første leddet med bidraget fra en strømtetthet '''J'''<sub>''m''</sub> = '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''M''' fordelt over magnetens volum, mens det andre leddet skyldes en tilsvarende overflatestrøm '''K'''<sub>''m''</sub> = '''M'''&thinsp;&times;&thinsp;'''n'''.