Redigerer Kvantisert dreieimpuls (avsnitt)

===Egenvektorer===
De to operatorene <math>  \hat{L}_\pm </math> er eksempel på [[stigeoperator]]er. Deres effekt på egentilstandene for dreieimpulsen kan  sammenfattes i egenskapene

: <math>  \hat{L}_\pm | \lambda,m \rangle = | \lambda,  m \pm 1 \rangle </math>

Men man kan ikke øke kvantetallet ''m&thinsp;'' for mye da man hele tiden må oppfylle betingelsen <math> \lambda \ge \hbar^2 m^2 .</math> Det må derfor finnes en spesiell, «høyeste tilstand» <math> |\lambda, j \rangle </math> definert ved at  <math> \hat{L}_+ |\lambda, j \rangle = 0 .</math> Anvendes her senkeoperatoren <math> \hat{L}_- </math> på denne, får man

: <math>\begin{align} \hat{L}_-\hat{L}_+ |\lambda, j \rangle &=  (\hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 - \hbar \hat{L}_z ) |\lambda, j \rangle \\ &= (\lambda - \hbar^2 j^2 - \hbar^2 j) |\lambda, j \rangle = 0 \end{align} </math>

som dermed gir det viktige resultatet <math> \lambda = \hbar^2 j(j + 1) </math> for størrelsen av den totale dreieimpulsen.

Her kan verdien av ''j&thinsp;'' være et vilkårlig, positivt [[reelt tall]]. Men det kan bestemmes ved anvendelse av senkeoperatoren  <math>  \hat{L}_- </math>  på den høyeste tilstanden. Gjentas dette ''n&thinsp;'' ganger, vil man komme til en tilsvarende, «laveste tilstand» <math> |\lambda, j - n\rangle </math> som ikke kan senkes mer på grunn av det samme kravet som definerte den høyeste tilstanden. Da er <math> \hat{L}_- |\lambda, j - n\rangle = 0 </math> som betyr at

: <math>\begin{align} \hat{L}_+\hat{L}_- |\lambda, j - n\rangle &=  (\hat{\mathbf{L}}^2 -  \hat{L}_z^2 + \hbar \hat{L}_z ) |\lambda, j -n \rangle \\ &= (\lambda - \hbar^2 (j-n)^2 + \hbar^2 (j-n)) |\lambda, j -n \rangle = 0 \end{align} </math>

Benyttes her resultatet for egenverdien ''&lambda;&thinsp;'' uttrykt ved kvantetallet ''j'', finner man at

: <math> j(j+1) - (j-n)^2 + (j-n) = 0 </math>

Dets mulige verdier følger derfor fra 2''j''&thinsp;(''n'' + 1) = ''n''(''n'' + 1) eller 2''j'' = ''n'' hvor [[heltall]]et ''n'' = 0, 1, 2 og så videre. Kvantetallet som bestemmer størrelsen av dreieimpulsen, kan derfor kun anta verdiene ''j'' = 0, 1/2, 1, 3/2, 2 etc.

Egenvektorene til dreieimpulsoperatoren kan nå karakteriseres ved de to kvantetallene ''j&thinsp;'' og ''m''. Dette siste, «magnetiske kvantetallet» kan anta verdiene ''m'' = (''j'', ''j'' - 1, ''j'' - 2, ..., -''j'' + 1, -''j''&thinsp;) og kan tenkes å beskrive de  2''j'' + 1 forskjellige retninger som dreieimpulsvektoren kan ha i et halv-klassisk bilde av denne operatoren.<ref name = Liboff/>

Resultatet av kvantisering kan nå summeres opp ved

: <math> \begin{align} \hat{\mathbf{L}}^2 |j,m\rangle &= \hbar^2 j(j+1) |j,m\rangle \\ \hat{L}_z |j,m\rangle &= \hbar m |j,m\rangle  \end{align}</math>

som gjelder for både heltallige og halvtallige verdier av kvantetallet ''j''.