Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Bohr-Sommerfelds kvantisering===

Elektronet i hydrogenatomet blir holdt på plass ved den elektriske [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] fra atomkjernen på samme måte som [[planet]]enes gang er styrt av [[tyngdekraft]]en fra [[Solen]]. Begge disse krefter varierer på samme måte med avstanden slik at også et elektron burde kunne bevege seg i en [[ellipse]]bane på tilsvarende måte som en planet ifølge [[Keplers lover]].

[[Fil: Drawing_of_Sommerfeld_atom.svg|left|thumb|200px|I Sommerfelds utvidelse av [[Bohrs atommodell|Bohrs modell]] for [[hydrogenatom]]et er noen av banene også [[ellipse]]r.]]
[[Arnold Sommerfeld]] foreslo i 1916 å inkludere slike ellipsebaner blandt de stasjonære banene for elektronet i H-atomet. Han ble nødt til å innføre en mer generell kvantisering av disse banene basert på [[Lagrange-mekanikk#Bevegelseskonstanter|kanoniske impulser]] i [[Hamilton-mekanikk|analytisk mekanikk]]. For hver koordinat ''q<sub>i</sub>'' som beskriver en partikkels posisjon, finnes det en tilsvarende konjugert impuls ''p<sub>i</sub>''. Sommerfeld antok at disse kunne bare ta diskrete verdier gitt ved integralbetingelsen

: <math> \oint\! dq_i\,p_i   = n_i h </math>

hvor ''n<sub>i</sub>'' er heltallige [[kvantetall]]. For en sirkulær bane i planet gitt ved en asimutal vinkel ''&phi;'' som varierer fra 0 til 2''&pi;&thinsp;'', er den konjugerte impulsen dreieimpulsen ''L''. I dette spesielle tilfellet gir betingelsen dermed {{nowrap|2''&pi;''&thinsp;''L'' {{=}} ''nh''&thinsp;}} som er i overensstemmelse med hva Bohr hadde antatt. Disse mer generelle kvantebetingelsene blir derfor omtalt som [[Bohr-Sommerfeld-kvantisering]].<ref name = Sommerfeld>A. Sommerfeld, ''Atombau und Spektrallinien'', Verlag von Friedrich Vieweg & Sohn, Braunschweig (1919).</ref>

Når ett elektron beveger seg i tre dimensjoner omkring atomkjernen, vil det i denne atommodellen til Sommerfeld nå beskrives ved tre kvantetall. De benevnes vanligvis ''n'', ''k'' og ''m&thinsp;'' hvor energien til de stasjonære banene er gitt ved «hovedkvantetallet» ''n&thinsp;'' på samme måte som i Bohrs modell. Det «asimutale kvantetallet» bestemmer dreieimpulsen til disse banene og tar verdiene ''k&thinsp;'' = 1, 2, 3, .., ''n&thinsp;'' avhengig av hvor ellipseformet banen er. Til slutt avgjør det «magnetiske kvantetallet» ''m&thinsp;'' ellipsebanens orientering i rommet.

Hastigheten til elektronene i et atom har en størrelsesorden som er prosenter av [[lyshastighet]]en. Derfor vil effekter fra [[spesiell relativitetsteori]] tas med i en nøyaktig beskrivelse av deres [[Hydrogenatom#Relativistisk bevegelse|bevegelse]]. Det kan gjøres ved denne mer generelle kvantiseringen, og Sommerfeld lyktes å forklare på denne måten en del av den observerte [[finstruktur]]en i spektra til flere atomer.

Detaljert forståelse av egenskapene til atomer med mange elektroner ble langsomt etablert spesielt ved studier av den [[karakteristisk røntgenstråling|karakteristiske røntgenstrålingen]] fra tyngre atomer og fra [[Zeeman-effekt]]en til atomer i ytre [[magnetfelt]]. Det gjorde det klart at denne halvklassiske kvantefysikken måtte erstattes av en ny kvantemekanikk.<ref name = Born>M. Born, ''Atomic Physics'', Blackie & Son Limited, Glasgow (1962).</ref>