Redigerer Koordinatsystem (avsnitt)

===Et todimensjonalt eksempel===
[[Fil:Skjevvinklet.jpg|thumb|320px|Kartesisk basis ('''e'''<sub>''x''</sub>,'''e'''<sub>''y''</sub>) i to dimensjoner vist i sort, mens skjevvinklet basis ('''e'''<sub>1</sub>,'''e'''<sub>2</sub>) langs koordinatlinjene er vist i <span style="color:blue;">blått </span>. Den duale basisen {{nowrap|('''e'''<sup>1</sup>,'''e'''<sup>2</sup>)}} står normalt på koordinatlinjene og er tegnet inn med <span style="color:green;">grønt </span>. Med <span style="color:red;">rødt </span> er vist vektoren '''V''' = {{nowrap|3'''e'''<sub>''x''</sub>  + 4'''e'''<sub>''y''</sub>}}.]]
Denne formalismen kan illustreres i et euklidsk rom med ''D = 2&thinsp;'' dimensjoner. I stedet for de  to kartesiske basisvektorene '''e'''<sub>''x''</sub> og '''e'''<sub>''y''</sub>, kan man for eksempel benytte den skjevvinklete basisen definert ved {{nowrap|'''e'''<sub>1</sub> {{=}} '''e'''<sub>''x''</sub> - '''e'''<sub>''y''</sub>}} og {{nowrap|'''e'''<sub>2</sub> {{=}} '''e'''<sub>''x''</sub> + 2'''e'''<sub>''y''</sub>.}} Transformasjonsmatrisen og dens inverse er derfor 

: <math> 
A =  \begin{bmatrix}    
    1 & 1  \\
    -1 & 2  
 \end{bmatrix},\;\; 
A^{-1} = \begin{bmatrix}    
    2/3 & -1/3  \\
    1/3 & 1/3  
 \end{bmatrix}
</math>
Fra de nye basisvektoren følger også direkte de kovariante komponentene av metrikken,
: <math>  
g_{\mu\nu} =  \begin{bmatrix}    
    2 & -1  \\
    -1 & 5  
 \end{bmatrix}
</math>
De nye, kontravariante koordinatene blir på samme måte
:<math>\begin{align}
    x^1 &= {2\over 3}x - {1\over 3}y \\
    x^2&=  {1\over 3}x + {1\over 3}y\\
\end{align}</math>

Dette gir også den duale basisen bestående av {{nowrap|'''e'''<sup>1</sup> {{=}} 2/3&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> - 1/3&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub>&thinsp;}} og {{nowrap|'''e'''<sup>2</sup> {{=}} 1/3&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + 1/3&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub>}}.  De kontravariante komponentene av metrikken blir dermed
: <math>  
g^{\mu\nu} =  {1\over 9}\begin{bmatrix}    
    5 & 1  \\
    1 & 2  
 \end{bmatrix}
</math>

I figuren til høyre er dette skjevvinklete koordinatsystemet vist med noen forskjellige koordinatlinjer  og basiser tegnet inn i noen tilfeldige punkt. Det fundamentale parallellogrammet {{nowrap|'''e'''<sub>1</sub>&thinsp;&times;&thinsp;'''e'''<sub>2</sub>&thinsp;}} har et areal som er kvadratroten av {{nowrap|det(''g<sub>&mu;&nu;</sub> '') {{=}} 3}} ganger større enn arealet til kvadratet {{nowrap|'''e'''<sub>''x''</sub>&thinsp;&times;&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub>,}} mens det duale parallellogrammet {{nowrap|'''e'''<sup>1</sup>&thinsp;&times;&thinsp;'''e'''<sup>2</sup>&thinsp;}} har et areal som er 3 ganger mindre enn dette enhetskvadratet.

En kartesisk vektor '''V''' = 3'''e'''<sub>''x''</sub>  + 4'''e'''<sub>''y''</sub>  kan da angis ved sine kontravariante komponenter som {{nowrap|'''V''' {{=}} 2/3&thinsp;'''e'''<sub>1</sub> + 7/3&thinsp;'''e'''<sub>2</sub>}} som fremkommer ved projeksjoner parallelt med koordinatlinjene. I den duale basisen blir {{nowrap|'''V''' {{=}} -'''e'''<sup>1</sup> + 11'''e'''<sup>2</sup>}}&thinsp; med kovariante komponenter som finnes ved projeksjoner normalt på koordinatlinjene.