Redigerer Kontinuitetsligning (avsnitt)

==Hydromekanikk==

En flytende væske er karakterisert ved en [[skalar]] massetetthet ''&rho;''('''x''',''t'')&thinsp;og et [[vektorfelt|vektorielt]] hastighetsfelt  '''v'''('''x''',''t''). Betrakter man nå et lite volum ''V''&thinsp; som flyter med væsken, vil dette raskt endre form da overflaten består av partikler. I løpet av et svært lite tidsrom, beveger disse seg et lite stykke &Delta;'''x'''&thinsp; slik at det medfølgende volumet forandres med

: <math> \Delta V = \oint_{\partial V} d\mathbf{S}\cdot \Delta\mathbf{x} </math>

hvor ''d''&thinsp;'''S'''&thinsp; er et lite flateelement på overflaten ''S'' = ''&part;V''. Hastigheten til denne volumforandringen er derfor

: <math> {dV\over dt} = \oint_{\partial V} d\mathbf{S}\cdot\mathbf{v} = \int_V\!d^3x\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v}  = V\, \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} </math>

når volumet er så lite at hastigheten i det kan anses som konstant. Betingelsen på hastighetsfeltet for dets størrelsen ikke skal forandres, er derfor at  {{nowrap|'''&nabla;'''&sdot;'''v''' {{=}} 0}}. En slik væske sies å være '''inkompressibel'''.

Under en slik flyt må massen ''&rho;V''&thinsp; i volumet alltid være konstant da det består hele tiden av de samme partiklene. Derfor må man ha at

: <math> {d\over dt}(\rho V) = {d\rho\over dt}V + \rho{dV\over dt} = 0 </math>

De deriverte her er «totalderiverte» eller '''materielt deriverte''' da de uttrykker forandringene fra et medfølgende observasjonspunkt i væsken. Da tettheten varierer både i tid og rom, det vil si med ''t'' og '''x''', er den materielt deriverte

: <math>  {d\rho\over dt} =  {\partial\rho\over\partial t} +  {\partial\rho\over\partial x^k}{dx^k\over dt} =  {\partial\rho\over\partial t} + \mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\rho </math>

Den partielt deriverte ''&part;&rho;''/''&part;t''&thinsp; sier hvor mye tettheten forandrer seg med tiden i et gitt punkt, mens [[gradient]]en '''&nabla;'''''&rho;'' sier hvordan tettheten forandrer seg i rommet ved et gitt tidspunkt.

Ved nå å sette inn dette i ligningen for bevarelse av masse i det medfølgende volumet, finner man

: <math> \left({\partial\rho\over\partial t}  +  \mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\rho \right)V + \rho  V\, \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = 0 </math>

eller

: <math> \frac {\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\rho\mathbf{v} = 0</math>

som igjen er kontinuitetsligningen med strømtettheten '''J''' = ''&rho;''&thinsp;'''v'''. For en inkompressibel væske er derfor {{nowrap|''d&rho;''/''dt'' {{=}} 0&thinsp;}} slik at den medfølgende tettheten er konstant.

===Dynamikk===

[[Newtons andre lov]] for et væskeelement med volum ''V'', er ''&rho;V''(''d'''''v'''/''dt'') = '''F'''&thinsp; hvor denne kraften er gitt som summen av alle krefter som virker på elementet. Hvis man ser bort fra ytre krefter og [[viskositet|viskøse effekter]], er denne gitt ved trykket ''p&thinsp;'' alene som '''F''' = -''V''&thinsp;'''&nabla;'''''p''. På den måten fremkommer den dynamiske [[Euler-ligningene|Euler-ligningen]]

: <math> {d\mathbf{v}\over dt} = {\partial\mathbf{v}\over\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v} = - {1\over\rho}\boldsymbol{\nabla}p . </math>

som beskriver en slik '''ideell væske'''. På komponentform kan denne bevegelsesligningen skrives som

: <math> {\partial\rho v_i\over\partial t} + \partial_j(\rho v_iv_j) + \partial_ip = 0, </math>

ved bruk av [[Einsteins summekonvensjon]] og kontinuitetsligningen. Det er her hensiktsmessig å innføre den hydrodynamiske [[spenningstensor]]en

: <math> T_{ij} = p\delta_{ij} + \rho v_iv_j </math>

ved å benytte [[Kronecker-delta|Kronecker-symbolet]]. Euler-ligningen tar da den mer kompakte formen

: <math> {\partial\rho v_i\over\partial t} +  \partial_jT_{ij} = 0 </math>

som beskriver en slik ideell væske. Viskøse effekter kan tas med ved å bygge disse inn i spenningstensoren.<ref name = Lamb/>