Redigerer Harmonisk oscillator (avsnitt)

===Løsning av bevegelsesligning===
[[Fil:Animación1.gif|thumb|280px|Oscillatoren svinger rundt likevektspunktet ''x'' = 0.]]
Differensialligningen som beskriver bevegelsen til oscillatoren, kan skrives som

: <math> \Big({d^2\over dt^2} + \omega^2\Big)x(t) = 0 </math>

Den vil i alminnelighet ha flere løsninger. Hvis ''x''<sub>1</sub>(''t''&thinsp;) er en løsning og ''x''<sub>2</sub>(''t''&thinsp;) er en annen løsning, så vil også summen (eller «superposisjonen»)
{{nowrap|''a&thinsp;x''<sub>1</sub>(''t''&thinsp;) + ''b&thinsp;x''<sub>2</sub>(''t''&thinsp;)}} være en løsning hvor ''a'' og ''b'' er vilkårlige konstanter. Ligningen sies derfor å være '''lineær''' med  ''x''<sub>1</sub>(''t''&thinsp;) og ''x''<sub>2</sub>(''t''&thinsp;) som [[differensialligning|delløsninger]].

Slike delløsninger av en lineær differensialligning finnes på enkleste måte ved å anta at de kan skrives som en [[eksponensialfunksjon]].<ref name="Boas">M.L. Boas, ''Mathematical Methods in the Physical Sciences'', John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.</ref> Da er {{nowrap|''x''(''t''&thinsp;) {{=}} exp(''&alpha;t'')}} hvor foreløbig størrelsen ''&alpha;'' er ukjent. Settes denne antagelsen inn i ligningen, finner man

: <math> (\alpha^2 + \omega^2)e^{\alpha t} = 0 </math>

Denne er kun oppfylt når ''&alpha; = &plusmn;i&omega;''&thinsp; hvor ''i'' = &radic;-1 er den [[imaginær enhet|imaginære enhet]]. Derfor er den generelle løsningen av differensialligningen

: <math> x(t) = ae^{i\omega t} + be^{-i\omega t} </math>

Da koordinaten ''x'' er et [[reelle tall|reelt tall]], må de to integrasjonskonstantene ''a'' og ''b'' være [[konjugert (matematikk)|komplekskonjugerte]] av hverandre. Ved å benytte [[Eulers formel]] for eksponensialfunksjonene, kan løsningen skrives på formen

:<math> x(t) = B\cos\omega t + C\sin\omega t</math>

etter å ha erstattet de to opprinnelige integrasjonskonstantene  med to andre, reelle konstanter ''B''&thinsp; og ''C''. Alternativt kan nå dette skrives på den opprinnelige formen {{nowrap|''x'' {{=}} ''A''&thinsp;cos(''&omega;t - &phi;'')&thinsp;}} når man innfører {{nowrap|''B {{=}} A''&thinsp;cos''&phi;''&thinsp;}} og {{nowrap|''C {{=}} A''&thinsp;sin''&phi;''}} og gjør bruk av den [[trigonometriske identiteter|trigonometriske identiteten]] for cosinus til en differanse av to vinkler. Maksimalt og minimalt utslag er henholdsvis {{nowrap|''x<sub>max</sub> {{=}} A''&thinsp;}} og {{nowrap|''x<sub>min</sub> {{=}} -A''}}.