Redigerer Harmonisk deling (avsnitt)

==Konstruksjon==

Hvis man i [[euklidsk geometri]] er gitt linjestykket ''AB'' og et indre delingspunkt ''S'', kan man finne det harmonisk konjugerte punktet ''T'' ved å beregne lengden ''BT''&thinsp; fra definisjonen for harmonisk deling og så avsette denne direkte på forlengelsen av linjestykket ''AB'' ved å benytte for eksempel en linjal som målestav.

===Sirkelinversjon===
[[Fil:Harmon-punkt-konstruktion-mit-kreis.png|300px|thumb|Konstruksjon av det fjerde, harmoniske punktet ved [[sirkelinversjon|inversjon]] i en sirkel.]]
Man kan i stedet for en lengdemåler bruke en sirkel. Det gir en mer direkte, [[Konstruksjon (geometri)|geometrisk konstruksjon]] av det konjugerte punktet. Man lar sirkelen ha sitt sentrum i midtpunktet ''M'' til ''AB'' og dette linjestykket som diameter. Trekkes en linje gjennom det gitte punktet ''S'' [[rett vinkel|normalt]] til linjestykket, skjærer den sirkelen i punktet ''Q'' som vist i figuren. Konstruerer man nå [[tangent (matematikk)|tangenten]] til sirkelen i dette punktet, vil den skjære forlengelsen av ''AB'' i punktet ''T''. Det er nå det harmonisk konjugerte punktet.

Dette følger fra en sammenligning av trekantene ''MSQ'' og ''MQT'' som er [[trekant|formlike]]. Det betyr at {{nowrap|''MS/MQ {{=}} MQ/MT''}}. Men nå er {{nowrap|''MQ''<sup>&thinsp;2</sup> {{=}} - ''MA&sdot;MB''}} lik med kvadratet til radius i sirkelen slik at {{nowrap|''MA&sdot;MB {{=}} - MS&sdot;MT''}}. Derfor deler punktene ''S'' og ''T'' linjestykket ''AB'' harmonisk som vist tidligere.

At produktet ''MS&sdot;MT'' er lik kvadratet av sirkelens radius, betyr at det harmonisk konjugerte punktet ''T'' også kan betraktes som ''speilbildet'' av det gitte punktet ''S'' under en [[sirkelinversjon|inversjon]] i sirkelen som går gjennom punktene ''A'' og ''B''.

===Parallelle linjer===
[[Fil:Harmon-teil-konstr.png|300px|thumb|Konstruksjon av harmonisk deling i [[affin geometri]].]]
I [[affin geometri]] er ikke lengder av linjestykker i alminnelighet veldefinerte. Heller ikke finnes det sirkler. Men man kan konstruere parallelle linjer som gjør det mulig å finne det harmonisk konjugerte punktet ''T'' direkte ved en geometrisk konstruksjon uten bruk av noen lengdemåler eller sirkler. Man går frem på følgende måte:

#Man trekker en vilkårlig linje gjennom ''A'' og en parallell til denne gjennom ''B''.  
#På linjen gjennom ''A'' setter man av et vilkårlig punkt ''C'' og trekker linjen gjennom dette punktet og ''S''.
#Den skjærer linjen gjennom ''B'' i punktet ''D''. Forleng linjestykket ''DB'' med seg selv til punktet ''D'''.
#Trekk linjen mellom ''C'' og ''D'&thinsp;'' slik at den skjærer forlengelsen av ''AB&thinsp;'' i punktet ''T''.

Dette punktet ''T'' sammen med det gitte punktet ''S'' gir nå en harmonisk deling av linjestykket ''AB''. Det følger fra figuren som viser at {{nowrap|''AS/SB {{=}} AC/DB {{=}} AC/BD''}}. Men samtidig ser man også fra figuren at {{nowrap|''AT/BT {{=}} AC/BD'&thinsp;''}}. Det betyr at {{nowrap|''AS/SB {{=}} - AT/TB''}}&thinsp; som er det ønskede resultatet.<ref name = STL/>

===Fullstendig firkant===
[[Fil:pappusharmonic.svg|thumb|right|300px|Bruk av en [[fullstendig firkant]] for konstruksjon av  punktene ''C'' og ''D&thinsp;'' harmonisk konjugert til ''A'' og ''B''.]]

Harmonisk deling kan også gjennomføres uten bruk av sirkler i [[euklidsk geometri]] eller parallelle linjer i [[affin geometri]], men kun ved bruk av en [[linjal]] til konstruksjon av rette linjer. Den er basert på spesielle egenskaper ved det som kalles en [[fullstendig firkant]] og har en viktig rolle i [[projektiv geometri]].<ref name = Faulkner/>

Oppgaven er å finne et nytt punkt ''C'' på en linje gjennom to gitte punkt ''A'' og ''B'' som er harmonisk konjugert med et tredje punkt ''D'' relativt til de to andre, gitte punktene. Man velger da et vilkårlig punkt ''L'' utenfor linjen gjennom  ''A'' og ''B''. Etter å ha trukket linjene ''LB'' og ''LD'' trekkes en linje gjennom ''A'' som skjærer disse to linjene i ''K'' og ''N''. En ny linje gjennom punktene ''B'' og ''K'' skjærer linjen ''LA'' i et fjerde punkt ''M''. Dermed er den fullstendige firkanten ''KLMN'' konstruert. Hvis man nå forlenger dens diagonal ''MN&thinsp;'' til den skjærer den gitte linjen i ''C'', er dette det søkte punktet. Samme konstruksjon kan benyttes hvis punktet ''C'' utenfor ''A'' og ''B'' er gitt og man skal finne det konjugerte punktet ''D''.

Ved bruk av [[Projektivt plan#Homogene koordinater|homogene koordinater]] på linjen gjennom ''A'' og ''B'', kan det gitt punktet ''D'' skrives på den kompakte formen {{nowrap|''D'' {{=}} ''A'' + ''&lambda;B''&thinsp;}} hvor ''&lambda;&thinsp;'' er en slik koordinat. På samme vis kan man skrive at {{nowrap|''K'' {{=}} ''D'' + ''&mu;L''}} da ''K'' ligger på linjen ''LD''. Derfor er {{nowrap|''K'' {{=}} ''A'' + ''&lambda;B'' +  ''&mu;L''}}. Denne sammenhengen betyr at {{nowrap|''K'' - ''A''}} = {{nowrap|''&lambda;B'' +  ''&mu;L'' {{=}} ''N''&thinsp;}} da dette punktet ''N'' er definert ved skjæringspunktet mellom linjene ''AK'' og ''LB''. Alternativt følger at {{nowrap|''K'' - ''&lambda;B''}} = {{nowrap|''A'' +  ''&mu;L'' {{=}} ''M''&thinsp;}} da punktet ''M&thinsp;'' er skjæringspunktet mellom linjene ''BK'' og ''LA''.

Da det søkte punktet ''C'' ligger på linjen mellom ''M'' og ''N'', ser man fra {{nowrap|''M'' - ''N'' {{=}} ''A'' - ''&lambda;B''&thinsp;}} at det harmonisk konjugerte punktet til {{nowrap|''D'' {{=}} ''A'' + ''&lambda;B''&thinsp;}} er gitt som {{nowrap|''C'' {{=}} ''A'' - ''&lambda;B''&thinsp;}} da det også ligger på linjen mellom ''A'' og ''B'',