Redigerer Gravitasjonsfelt (avsnitt)

==Einsteins teori==

De geometriske egenskapene til [[tidrom]]met med koordinatene ''x<sup>&mu;</sup>'' = (''x''<sup>0</sup> = ''ct'', '''x''') er i den [[generell relativitet|generelle relativitetsteorien]] gitt ved det [[metrisk tensor|kvadratiske linjeelementet]]

:  <math> ds^2 = g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu </math>

hvor  ''c'' er [[lyshastigheten]] og man benytter [[Einsteins summekonvensjon]] hvor man summerer over alle like par med indekser.  Den metriske tensoren ''g<sub>&mu;&nu;</sub>'' forenkles til [[Kovariant relativitetsteori|Minkowski-metrikken]] med de diagonale komponentene {{nowrap|(1, -1, -1, -1)}} i et [[inertialsystem]]. 

En fri partikkel vil følge en [[geodetisk kurve]] i tidrommet. Det følger fra [[ekvivalensprinsippet]] og betyr at bevegelsen er gitt som en løsning av [[differensialligning]]en

: <math> {d^2 x^\sigma\over ds^2} + \Gamma^\sigma_{\;\mu\nu}{dx^\mu\over ds}{dx^\nu\over ds} = 0 </math>

hvor størrelsen av linjeelementet er forbundet ved partikkelens [[egentid]] ved relasjonen ''ds = cd&tau;''. Størrelsene &Gamma;''<sup>&sigma;</sup><sub>&mu;&nu;</sub>''&thinsp; er [[Tensor#Tensoranalyse|Christoffel-symbol]] gitt ved deriverte av komponentene til metrikken ''g<sub>&mu;&nu;</sub>''.<ref name = Schutz> B.F. Schutz, ''A First Course in General Relativity'',  Cambridge University Press, England (2009). ISBN 978-0-521-88705-2.</ref>

Sammenlignes den geodetiske ligningen med den tilsvarende bevegelsesligningen i Newtons teori, ser man at det siste leddet tilsvarer leddet med gravitasjonsfeltet. Man kan derfor med en viss rett si at dette går over til å bli beskrevet ved Christoffel-symbolene i Einsteins teori.

Mer presist kan man se denne sammenhengen ved å gå til den ikke-relativistiske grensen hvor partikkelen beveger seg med en hastighet ''v'' mye mindre enn lyshastigheten i et statisk tidrom. Første komponent {{nowrap|''&sigma;'' {{=}} 0}} av den geodetiske ligningen gir da at partikkelens egentid ''&tau;'' blir lik koordinattiden ''t''. De andre komponentene til den samme ligningen reduseres dermed til

: <math> {d^2 x^i\over dt^2} + \Gamma^i_{\;00}c^2 = 0 </math>

I den samme grensen er dette Christoffel-symbolet gitt som 2&Gamma;<sup>''i''</sup><sub>00</sub> = &part;''g''<sub>00</sub>/&part;''x<sup>i</sup>'' slik at man finner verdien

: <math> g_{00} = 1 + {2\Phi\over c^2} </math>

for denne metriske komponenten. Den uttrykker Einsteins forklaring av det newtonske gravitasjonsfeltet som fremkommer som en rent geometrisk egenskap ved tidrommet. Newtons fysikk kan benyttes for svake gravitasjonspotensial som oppfyller betingelsen |&Phi;| << ''c''<sup>&thinsp;2</sup> og hastigheter {{nowrap|''v'' << ''c''}}.<ref name = Schutz/>