Redigerer Geodetisk kurve (avsnitt)

===Geodetisk ligning===

For en vilkårlig parametrisering av kurven, må variasjonen av kurvelengden  ''&delta;L'' = 0.  Man kan da innføre «energien» til kurven definert ved <math> E =  (1/2)g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu </math> i analogi med [[kinetisk energi]] for en partikkel  i [[Lagrangemekanikk|mekanikken]]. Den geodetiske linjen har derfor minimal energi. 

Det matematiske problemet kan da omformes til

: <math>\delta L =  \delta\int_1^2\!d\lambda\sqrt{2E} = \int_1^2\!d\lambda {\delta E\over\sqrt{2E}} = 0 </math>

Hvis man nå velger en naturlig parametrisering av kurven slik at ''E'' = 1/2, vil det bety at man bruker dens buelengde ''s'' som parameter. Dermed forenkles variasjonsproblemet til

: <math>\delta E = {1\over 2}\int_1^2\!ds \delta(g_{\mu\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu) = 0 </math>

Euler-Lagrange-ligningen <math> \partial E/\partial x^\alpha = (d/ds)\partial E/\partial\dot{x}^\alpha</math> tar da formen

: <math> {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\alpha}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu = 2{d\over ds} (g_{\mu\alpha}\dot{x}^\mu) =  2g_{\mu\alpha}\ddot{x}^\mu + 2{\partial g_{\mu\alpha}\over\partial x^\nu}\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu =  2g_{\mu\alpha}\ddot{x}^\mu + \Big({\partial g_{\mu\alpha}\over\partial x^\nu} + {\partial g_{\nu\alpha}\over\partial x^\mu} \Big)\dot{x}^\mu\dot{x}^\nu </math>

etter å ha symmetrisert det siste leddet. Det gir den geodetiske ligningen

: <math>  {d^2x^\beta\over ds^2} + \Gamma^\beta_{\;\mu\nu}{dx^\mu\over ds}{dx^\nu\over ds}  = 0 </math>

hvor

: <math> \Gamma^\beta_{\;\mu\nu} = {1\over 2} g^{\beta\alpha} \Big({\partial g_{\mu\alpha}\over\partial x^\nu} + {\partial g_{\nu\alpha}\over\partial x^\mu} - {\partial g_{\mu\nu}\over\partial x^\alpha} \Big) </math>

er [[Tensor#Tensoranalyse|Christoffel-symbolet]] av andre sort. Dette er symmetrisk i de to nedre indeksen. Den geodetiske ligningen tar denne formen bare ved en affin parametrisering.

Den geodetiske ligningen er vanligvis vanskelig å løse for en gitt metrikk bortsett fra i det trivielle tilfellet der alle Christoffel-symbolene er null. Da har ligningen rette linjer som løsninger. Men det er også tilfelle i det mer generelle tilfellet at koordinatene er slik valgt at Christoffel-symbolene har formen

: <math> \Gamma^\beta_{\;\mu\nu} = \delta^\beta_\mu a_\nu +  \delta^\beta_\nu a_\mu</math>

for vilkårlige funksjoner ''a<sub>&mu;</sub>''(''x'').  Da gir ligningen at den andrederiverte ''d''<sup>&thinsp;2</sup>''x<sup>&beta;</sup>''/''ds''<sup>&thinsp;2</sup>  er proporsjonal med tangenten ''dx<sup>&beta;</sup>''/''ds'' som betyr at den geodetiske kurven er en rett linje.