Redigerer Funksjon (matematikk) (avsnitt)

== Spesifikasjon av funksjoner ==

En gitt funksjon kan spesifiseres på flere måter, og avsnittet beskriver vanlige måter.

=== Ved listing av ordnede par === 

En funksjon kan spesifiseres fullt og helt ved å liste opp alle ordnede par som inngår i definisjonen.  Dersom definisjonsmengden er <math>A = \{1,2,3\}</math>, så kan en definere en funksjon
<math>f: A \rightarrow R</math> ved

:<math>
\begin{alignat}{2}
f(1) &= 1{,}23 \\
f(2) &= \pi \\
f(3) &= 2
\end{alignat}
</math> 

=== Ved navn ===

<!-- Avsnittet forsøker å omtale spesifikt navngitte funksjoner, ikke navngitte klasser av funksjoner....  -->  

Matematikk inneholder en lang rekke funksjoner som er så viktige at de er gitt egne navn og symboler.  Dette omfatter elementære grunnfunksjoner (se eget avsnitt) og også mer 
spesielle funksjoner, som for eksempel gammafunksjonen, [[Unit-step-funksjon|Heaviside-funksjonen]], [[Eulers totientfunksjon]] og [[feilfunksjon]]en.
  
=== Ved formel ===
En funksjon blir ofte spesifisert ved hjelp av matematiske symboler, som en [[formel (vitenskap)|formel]]. Et eksempel på en slik formelspesifikasjon kan være <math>y = 2x+b</math>.  

=== Som inverse funksjon ===
En funksjon <math>f: D \rightarrow C</math> sies å være [[bijeksjon|bijektiv]] dersom funksjonen definerer en-til-en korrespondanse mellom elementer i <math>D</math> og elementer i <math>C</math>.  Det vil si at det for hvert
element <math>y</math> i <math>C</math> eksisterer ett og kun ett element <math>x</math> slik at <math>y = f(x)</math>.  For slike funksjoner er det mulig å definere den [[invers funksjon|inverse funksjonen]] 
<math>f^{-1}: C \rightarrow D</math> som avbilder <math>y = f(x) \in C</math> på <math>x \in D</math>.<ref name=AAS1C/>

Den reelle [[logaritme]]funksjonen er eksempel på en bijektiv funksjon fra mengden av positive reelle tall inn på mengden av reelle tall.  Funksjonen har en invers funksjon, som er [[eksponentialfunksjon]]en.

Selv om en funksjon ikke er bijektiv, så kan en i noen tilfeller velge undermengder <math>E \subset D</math> og <math>F \subset C</math>, slik at ''restriksjonen'' av funksjonen er bijektiv fra <math>E</math> til <math>F</math>.
Den inverse funksjonen vil da eksistere begrenset til disse mengdene.  De [[Inverse trigonometriske funksjoner|inverse trigonometriske funksjonene]] er definert på denne måten.  For eksempel er cosinus-funksjonen en bijeksjon fra intervallet <math>[0, \pi]</math>, og den inverse funksjonen arcus-cosinus har definisjonsmengde <math>[-1, 1]</math>.

=== Som implisitt funksjon ===

Mange binære relasjoner mellom to mengder <math>D</math> og <math>C</math> vil være av en slik form at de for hvert element i <math>x \in D</math> entydig definerer et element <math>y \in C</math>.  Slike relasjoner
vil definere en ''implisitt funksjon''<ref name=THOMAS2/>  Den binære relasjonen som definerer den implisitte funksjonen, er som oftest en ligning.  Inverse funksjoner er en type funksjoner som er definert implisitt, 
ved en enkel ligning <math>y = f(x)</math>.  

Som et eksempel vil ligningen for enhetssirkelen

:<math>x^2 + y^2 = 1</math>

være en relasjon mellom <math>x</math> og <math>y</math>.  For for de fleste verdiene av <math>x</math> i intervallet [-1,1] definerer denne ''to'' verdier av <math>y</math>, en positiv og en negativ. 
Det vil si at relasjonen definerer ''to'' funksjoner implisitt, en med verdimengde [-1,0] og en med verdimengden [0,1].  I dette enkle tilfellet er det mulig å uttrykke de to funksjonene ''eksplisitt'':

:<math>
\begin{alignat}{3}
f(x) &=  &\sqrt{1 - x^2} \qquad x \in [-1,1] \\[4pt]
g(x) &= -  &\sqrt{1 - x^2} \qquad x \in [-1,1] 
\end{alignat}
</math>

I mer kompliserte tilfeller er det ikke mulig å definere en implisitt funksjon på en eksplisitt form.  

Tilstrekkelige vilkår for at en funksjonsrelasjon <math>F(x_1, x_2, x_3, ....,x_n, y) = 0</math> definerer <math>y</math> implisitt som funksjon av <math>(x_1, x_2, ..., x_n)</math> er gitt ved 
''det implisitte funksjonsteorem''.<ref name=APOSTOL/> 

=== Som sammensatt funksjon ===

En funksjon kan spesifiseres som en ''sammensatt funksjon'', også kalt et produkt, av to eller flere andre funksjoner.  La <math>g: A \rightarrow B</math> og <math>h: B \rightarrow C</math>.  
En sammensatt funksjon <math>f</math> er definert ved<ref name=MILNE2/>

:<math>f(x) = h(g(x)) \quad x \in A </math>

Verdimengden til <math>f</math> er en delmengde av <math>C</math>.  En sammensatt funksjon kan skrives som <math>f = g \circ h</math>.   Et eksempel på en sammensatt funksjon er gitt ved

:<math>
\begin{alignat}{3}
g(u) &=  \sin u \\
h(x) &= x^2 \\
f(x) &= g(h(x)) = \sin x^2  
\end{alignat}
</math>

=== Ved differensialregning ===

Mange funksjoner er definert som løsningen av en [[differensialligning]].  I det enkleste tilfellet inkluderer dette alle funksjoner som er en [[primitiv funksjon|antiderivert]] av en annen funksjon, det vil si som er løsning av en ligning av typen

:<math>\frac{dy}{dx} = f(x)</math>

Mer komplekse eksempler inkluderer [[Bessel-funksjon]]er, [[Legendre-polynom|Legendre-funksjoner]] og den [[hypergeometrisk funksjon|hypergeometriske funksjonen]].  

=== Ved rekursjon ===

Funksjoner med definisjonsmengde lik mengden av naturlige tall <math>N</math> kan defineres ved hjelp av [[rekursjon]], det vil si at funksjonsverdien for <math>n \in N</math> blir definert 
som en funksjon av funksjonsverdier svarende til argument mindre enn <math>n</math>:

:<math>f(n) = F( \, f(n-1), f(n-2), ..., f(1) \, ) </math>

Her er funksjonen <math>F</math> definert ved et endelig antall aritmetiske operasjoner på argumentene.  En [[følge (matematikk)|følge]] er en type funksjon som ofte blir definert på denne måten.