Redigerer Eulers tall (avsnitt)

==Definisjoner==

Etter Eulers banebrytende arbeid i verket  ''Introductio in Analysin Infinitorum'' fra 1748 hadde man mange ekvivalente definisjoner av ''e''.<ref name = AnalysInfinit/> Ved å benytte [[binomialformel]]en på Bernoullis definisjon

: <math> e = \lim_{n\to\infty} \left(1+ {1\over n} \right)^n  </math>

fremkommer den uendelige rekken

: <math>\begin{align} e &= \lim_{n\to\infty}\left[1 + {n \choose 1} \Big({1\over n} \Big)  +  {n \choose 2}\Big({1\over n}\Big)^2   +  {n \choose 3} \Big({1\over n}\Big)^3 + \cdots  \right] \\ &=   \lim_{n\to\infty}\left[1 + {n\over 1!n}  + {n(n-1)\over 2!n^2} + {n(n-1)(n-2)\over 3!n^3} + \cdots \right] \\ &= 1 + {1\over 1!} + {1\over 2!} + {1\over 3!} + {1\over 4!} + {1\over 5!} \cdots   = \sum_{k=0}^\infty{1\over k!} \end{align}</math>

som er [[konvergens (matematikk)|absolutt konvergent]]. Den egner seg godt til en numerisk bestemmelse av konstanten.

===Naturlig eksponentialfunksjon===

Fra uttrykket for ''e'' finner man direkte for den [[eksponentialfunksjon#Naturlig eksponentialfunksjon|naturlige eksponentialfunksjonen]] den uendelig rekken

: <math>\begin{align}  e^x &=   \lim_{n\to\infty} \left(1+ {1\over n} \right)^{nx}= \sum_{k=0}^\infty {x^k \over k!} \\ &= 1 + {x\over 1!} + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} +  {x^5 \over 5!} \cdots \end{align}</math>

Herav følger ved å derivere ledd for ledd at

: <math>{d\over dx} e^x =  e^x </math>

slik at funksjonen er lik med sin egen deriverte. 

Omvendt kan dette benyttes å til definere funksjonen. Den skal være en løsning av den enkle [[differensialligning]]en {{nowrap|''dy''/''dx'' {{=}} ''y''&thinsp;}} med grensebvtingelsen {{nowrap|''y''(''x'' {{=}} 0)}} = 1. Da alle høyere deriverte dermed også vil være samme funksjon, finner man akkurat [[Taylor-rekke]]n for den naturlig eksponentialfunksjon.<ref name = Lindstrøm/>

===Naturlig logaritmefunksjon===
[[Fil:Ln+e.svg|thumb|300px|Eulers tall ''e'' er definert ved at den naturlige logaritmefunksjonen som der har verdien ln ''e'' = 1.]]

Den [[funksjon (matematikk)#Som inverse funksjon|inverse]] funksjon ''y''(''x'') til eksponentialfunksjonen ''e<sup>x</sup>&thinsp;'' vil per definisjon måtte tilfredsstille

: <math> e^{y(x)} = x </math>

og er den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmefunksjonen]] ''y'' = ln&thinsp;''x'' med ''e'' som grunntall slik at {{nowrap|ln&thinsp;''e'' {{=}} 1}}. Ved å derivere begge sider av ligningen ved bruk av [[derivasjon|kjerneregelen]], finner man da

: <math> e^{y(x)}{dy\over dx} = 1 </math>

Den deriverte av logaritmefunksjonen er derfor ''dy''/''dx'' = 1/''x''&thinsp; som er utgangspunktet for den hyperbolske logaritmen. Ved denne formuleringen skrives funksjonen på den mest anvendelige form som

: <math> \ln(1+x) = \int_0^x{dt\over 1 + t} </math>

Når absoluttverdien |''x''&thinsp;| < 1, kan integranden utvikles i en [[geometrisk rekke]] som dermed kan integreres ledd for ledd. Det gir

: <math>  \ln(1+x) = x - {1\over 2}x^2 + {1\over 3}x^3 - {1\over 4}x^4 + \cdots </math>

som er praktisk for numerisk utregning av logaritmer. Rekken kan føres tilbake til [[Isaac Newton|Newton]], men ble også utledet av [[Nicholas Mercator]] som har fått sitt navn knyttet til den.<ref name = Boyer/>

===Kjedebrøker ===
Euler kunne i ''Analysin Infinitorum''  også definere verdien til ''e'' ved uendelige [[kjedebrøk]]er. For eksempel er {{nowrap|''e'' {{=}} [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8, .. ,1,1,2''n'', ...]}}  eller mer eksplisitt

:<math>e=2+
\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 2+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 4+\cfrac{1}{
 \ddots
 }
 }
 }
 }
 }
}
</math>

Denne er ekvivalent med formene

:<math> e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\ddots}}}}} = 2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\ddots\,}}}}}
</math>

som igjen kan skrives på andre måter.<ref name = kjede> E. Sandifer, [https://web.archive.org/web/20140223072640/http://vanilla47.com/PDFs/Leonhard%20Euler/How%20Euler%20Did%20It%20by%20Ed%20Sandifer/Who%20proved%20e%20is%20irrational.pdf ''How Euler did it: Who proved e is irrational?''], MAA Online, February 2006.</ref>

Tallverdien til ''e'' er senere blitt uttrykt på mange andre måter ved forskjellige [[rekke (matematikk)|rekker]] og uendelige [[produkt (matematikk)|produkt]].<ref name="AS"> M.Abramowitz and I. Stegun, ''Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables'', Dover Publications, New York (1964). ISBN  0-486-61272-4.</ref>