Redigerer Elliptisk geometri (avsnitt)

===Metriske egenskaper===

På samme måte som euklidsk geometri er også elliptisk geometri ''metrisk'' ved at lengden til linjestykker og størrelse av areal kan bestemmes. Det kan gjøres på flere forskjellige måter, men i [[Riemanns differensialgeometri]] er det formalisert i den [[metrisk tensor|metriske tensoren]] som er ekvivalent med et kvadrert [[Differensiell flategeometri|linjeelement]]. Ved bruk av [[kulekoordinater]] (''&theta;,&phi;'') på en sfære med radius ''a'' er dette

: <math> ds^2 = a^2(d\theta^2 + \sin^2\!\theta d\phi^2) </math>

der den asimutale vinkelen ''&phi;'' tar verdier fra 0 til 2''&pi;&thinsp;''. I dobbeltelliptisk eller [[sfærisk geometri]] varierer den polare vinkelen ''&theta;'' mellom 0 og ''&pi;&thinsp;''. Lengden av en full storsirkel blir dermed 2''&pi;&thinsp;a'', mens arealet til hele kuleflaten er 4''&pi;&thinsp;a''<sup>&thinsp;2</sup>.

I hvert lite område er de metriske egenskapene til både den enkeltelliptiske og dobbeltelliptiske geometrien den samme. De er derfor beskrevet ved den samme, metriske  tensoren. Men det  enkeltelliptiske rommet tilsvarer bare halvparten av en full sfære der punktene langs ekvator er identifiserte med hverandre. Forskjellen mellom de to geometriene opptrer dermed først over store avstander.  Dette er matematisk beskrevet ved at den polare vinkelen ''&theta;'' kun tar verdier i intervallet mellom 0 og ''&pi;&thinsp;''/2 i denne elliptiske geometrien. En lukket linje i planet har derfor lengden ''&pi;&thinsp;a'', mens dets areal er 2''&pi;&thinsp;a''<sup>&thinsp;2</sup>. På tross av disse enkle resultatene er det likevel nesten umulig å forestille seg et slikt elliptisk plan.<ref name = Guggenheimer/>