Redigerer Eksponentiell vekst (avsnitt)

==Matematisk beskrivelse==

En av de første som studerte [[matematikk]]en involvert i forbindelse med utregning av [[rente]] og [[rentes rente]], var [[Leonardo Fibonacci|Loenardo da Pisa]], mer kjent som Fibonacci.<ref name="Holme"> A. Holme, ''Matematikkens Historie'' 2, Fagbokforlaget, Bergen (2004). ISBN 82-7674-814-7.</ref> I dag blir renten på en sparekonto lagt til det opprinnelige beløpet etter et år. Men man kunne i prinsippet legge den til etter ett halvt år eller hver måned. Hvis man da beholder rentefoten, vil beløpet på kontoen øke raskere enn om renten bare ble lagt til hvert år.

Som et ekstremt eksempel kan man tenke seg at rentefoten er 100&thinsp;% per år. Det tilsvarer en årlig vekstrate på ''x'' = 1. Hvis man har 1&thinsp;kr ved årets begynnelse, vil man ha 2&thinsp;kr etter et år. Hvis man i stedet blir enig om å legge til 50&thinsp;% to ganger i året, ville man etter et år da ha {{nowrap|1.5&thinsp;&times;&thinsp;1.5 {{=}} 2.25&thinsp;kr}} på kontoen. Alternativt, hvis man enes om å legge til renten etter hvert kvartal, vil man ved årets slutt ha 1.25<sup>4</sup> = 2.44&thinsp;kr. Ved en slik oppdeling i et stort antall mindre intervall nærmer dette tallet seg 2.72&thinsp;kr.

Mer generelt har denne ene kronen for en vekstrate på ''x'' per år og en oppdeling av denne perioden i et veldig stort antall ''n'' intervall, vokst til

: <math> y = \Big(1 + {x\over n}\Big)^n = e^x </math>

nye kroner. Her er [[Eulers tall]] ''e'' =  2.71828... og er grunntallet i den [[eksponentialfunksjon#Naturlig eksponentialfunksjon|naturlige eksponentialfunksjonen]] ''y = e<sup>x</sup>''. Den har den viktige egenskapen at den er lik med sin egen [[derivasjon|deriverte]], det vil si ''dy''/''dx = y''. Omvendt kan man si at denne [[differensialligning]]en definerer funksjonen.<ref name="Lindstrøm"> T. Lindstrøm,  ''Kalkulus'', Universitetsforlaget, Oslo (2000). ISBN 978-82-15-00977-3.</ref>

===Kontinuerlig vekst===
[[Fil:2^x function graph.PNG|thumb|280px|Grafisk fremstilling av [[eksponentialfunksjon]]en med grunntall ''g'' = 2.]]
Antallet i en eksponentielt voksende mengde øker som ''N<sub>n</sub>'' = ''N''<sub>0</sub>&thinsp;''g<sup>&thinsp;n</sup>'' etter ''n'' generasjoner fra det opprinnelige tidspunktet da antallet var ''N''<sub>0</sub>. Vekstfaktoren ''g'' sier hvordan antallet i populasjonen øker hver gang i løpet av et tidsintervall ''T''. Det kan være en time eller en uke avhengig av hvilken prosess man beskriver. Istedenfor å benytte antall generasjoner ''n'' som et itdsmål, kan man derfor like så godt benytte tidspunktet  {{nowrap|''t {{=}} nT''&thinsp;}} når ''n''-te generasjon opptrer. Da kan de diskrete antallene ''N<sub>n</sub>'' erstattes med den kontinuerlige funksjonen ''N''(''t'') definert ved

: <math>  N_n \rightarrow N(t) = N(nT) = N_0 g^n  = N_0 g^{t/T} </math>

Dette er en [[eksponentialfunksjon]] med grunntall ''g''. Det er en kontinuerlig funksjon som kan benyttes for alle tidspunkt ''t'', også for de som ikke er et helt multiplum av tidsintervallet ''T'' som definerer vekstraten.<ref name = Lindstrøm/>

For en viss vekstfaktor ''g'' = 1 + ''r''&thinsp; kan man herav finne hvor lang tid ''t''<sub>2</sub>&thinsp; det tar for en fordobling av populasjonen. Den er definert ved 
{{nowrap|''N''(''t''<sub>&thinsp;2</sub>) {{=}} 2''N''<sub>0</sub>}} og kalles  '''fordoblingstiden'''. Det betyr at {{nowrap|''g''<sup>&thinsp;''t''<sub>2</sub>/''T''</sup> {{=}} 2&thinsp;}} eller

: <math> {t_2\over T} = {\ln 2\over \ln g} = {\ln 2\over \ln (1 + r) } </math>

Her er  den [[naturlig logaritme|naturlige logaritme]] ln&thinsp;2 = 0.69, og man kan tilnærmet sette ln(1 + ''r''&thinsp;) = ''r''&thinsp; når vekstraten ''r'' << 1. Dermed kan man anslå fordoblingstiden fra formelen  {{nowrap|''t''<sub>&thinsp;2</sub> {{=}}  0.69/''r''&thinsp;}} når den måles i enheter av tidsperioden ''T'' som er implisitt inneholdt i vekstraten ''r''.

Antas at en [[pandemi]] som [[Covid-19]] har en vekstrate på {{nowrap|''r'' {{=}} 12%}} per dag i begynnelsesfasen, vil antall smittede derfor dobles etter tilnærmet {{nowrap|''t''<sub>&thinsp;2</sub> {{=}} 0.69/0.12}} = {{nowrap|6 dager}}. En mer fullstendig beskrivelse av tidsutviklingen finnes i [[SIR-modell]]en. Samme formel for eksponentiell vekst gir at et beløp på en sparekonto i en bank som tilbyr en rente  {{nowrap|''r'' {{=}} 3%}} per år, vil først fordobles etter 0.69/0.03 = 23&thinsp;år.

===Naturlig eksponentialfunksjon===
Mange praktiske beregninger blir enklere når man uttrykker funksjonen for eksponentiell som en [[eksponentialfunksjon|naturlig eksponentialfunksjon]] med grunntall ''e'' = 2.7128... Det gjøres mest direkte ved å skrive vekstfaktoren som ''g'' = ''e''<sup>&thinsp;ln&thinsp;''g''</sup>. Dermed blir

: <math>  N(t) = N_0 e^{(\ln g/T)t} = N_0 e^{kt} </math>

der ''k'' = ln''g''&thinsp;/''T'' kalles for '''tidskonstanten'''. Den har en dimensjon som er invers tid, for eksempel s<sup>-1</sup> (per sekund), per dag eller per år.  Fordoblingstiden kan nå skrives som 

: <math>  t_2 = {\ln 2\over k} </math>

som bare er en omskrivning av det forrige uttrykket.

Negativ vekst eller eksponentiell reduksjon beskrives ved en negativ tidskonstant slik at  ''N''(''t''&thinsp;) = ''N''<sub>0</sub>''e''<sup>&thinsp;-''kt''</sup>.  Etter en tid ''t''<sub>&thinsp;2</sub> er da antallet i populasjonen redusert med en faktor 2.  Den kalles derfor for [[halveringstid]]en og benyttes for eksempel i omtale av [[radioaktivitet|radioaktive]] stoffer.<ref name="ØOL"> O. Øgrim, H. Ormestad og K. Lunde, ''Rom Stoff Tid  3'', J.W. Cappelens Forlag, Oslo (1981). ISBN 82-02-01957-5.</ref>