Redigerer
Dobbeltforhold
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Sykliske punkt og kjeglesnitt== [[Fil:Birapportcercle.PNG|thumb|800px|Dobbeltforholdet for punktene ''A'', ''B'', ''C'', ''D '' på sirkelen er veldefinerte og uavhengig av det femte, kopunktuale punktet på sirkelen. Forholdet er det samme som for (''E,F;G,H'') på en vilkårlig skjæringslinje av linjebunten.]] Dobbeltforholdet for fire vilkårlige punkt ''A'', ''B'', ''C'', ''D '' i planet er ikke veldefinert. Men i det spesielle tilfellet at de ligger på en [[sirkel]], det vil si at de er ''sykliske'', har de et bestemt dobbeltfeorhold. Hvert punkt ''P'' på samme sirkel har da dobbeltforholdet (''PA, PB; PC, PD'') som er uavhengig av posisjonen til ''P'' og følger fra setningen om [[periferivinkel|periferivinkler]]. Under en romlig [[projeksjon]] vil sirkelen gå over til å bli en [[ellipse]] hvor punktene i linjebunten ''P''(''A,B,C,D'') vil få en annen plassering, men forbli på ellipsen. Da dobbeltforholdet forblir uforandret ved projeksjoner, betyr det at dette også kan tilordnes en viss verdi for fire punkt på en ellipse. [[Fil:Dubbelverhouding op kegelsnede.svg|thumb|320px|Dobbeltforholdet (''k, l; m, n'') for linjebunten fra ''P'' er det samme som (''K,L;M,N'') på en [[ellipse]]. Likedan er dette forholdet for tangentene ''a'',''b'',''c'' og ''d'' det samme som (''A,B;C,D'')]] Mer generelt kan man vise at dobbeltforholdet for fire punkt på et generelt [[kjeglesnitt]] har en veldefinert verdi når det beregnes fra et femte punkt på den samme kurven. Det skyldes at de forskjellige kjeglesnittene kan forbindes ved [[Projektivt plan#Projektive transformasjoner|projektive transformasjoner]]. Relasjoner mellom linjer og skjæringspunkt som kan kan bevises for en sirkel, vil da automatisk også gjelde for de andre kjeglesnittene.<ref name = CR/> Projektiv i planet har en [[Projektivt plan#Dualitet|dualitet]] som betyr at alle utsagn som gjelder for punkt og linjer skal forbli gyldige når deres roller byttes om. Punkt på en linje går over til pensel av linjer gjennom et punkt og omvendt. Under en slik transformasjon går et punkt på et kjeglesnitt over til en tangentlinje i et annet punkt. Det betyr at eksistensen av dobbeltforholdet til fire punkt på et kjeglesnitt medfører at det også eksisterer for fire tangenter til den samme kurven. Forholdet kan bestemmes ved de fire skjæringspunktene som tangentene har med en femte, vilkårlig tangentlinje.<ref name = Faulkner/> Ved hjelp av dobbeltforholdet kan linjene i to forskjellige linjebunter relateres. Skjæringspunktene mellom tilsvarende linjer vil da ligge på et kjeglesnitt. Dette kan igjen brukes til å gi en definisjon av kjeglesnitt som er mer generell enn den vanlige definisjonen basert på euklidsk geometri.
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon