Redigerer Dobbeltforhold (avsnitt)

==Sykliske punkt og kjeglesnitt==
[[Fil:Birapportcercle.PNG|thumb|800px|Dobbeltforholdet for punktene ''A'', ''B'', ''C'', ''D&thinsp;'' på sirkelen er veldefinerte og uavhengig av det femte, kopunktuale punktet på sirkelen. Forholdet er det samme som for (''E,F;G,H'') på en vilkårlig skjæringslinje av linjebunten.]]

Dobbeltforholdet for fire vilkårlige punkt ''A'', ''B'', ''C'', ''D&thinsp;'' i planet er ikke veldefinert. Men i det spesielle tilfellet at de ligger på en [[sirkel]], det vil si at de er ''sykliske'', har de et bestemt dobbeltfeorhold. Hvert punkt ''P'' på samme sirkel har da dobbeltforholdet  (''PA, PB; PC, PD'') som er uavhengig av posisjonen til ''P'' og følger fra setningen om [[periferivinkel|periferivinkler]].

Under en romlig [[projeksjon]] vil sirkelen gå over til å bli en [[ellipse]] hvor punktene i linjebunten ''P''(''A,B,C,D'') vil få en annen plassering, men forbli på ellipsen. Da dobbeltforholdet forblir uforandret ved projeksjoner, betyr det at dette også kan tilordnes en viss verdi for fire punkt på en ellipse.

[[Fil:Dubbelverhouding op kegelsnede.svg|thumb|320px|Dobbeltforholdet (''k, l; m, n'') for linjebunten fra ''P'' er det samme som (''K,L;M,N'') på en [[ellipse]]. Likedan er dette forholdet for tangentene ''a'',''b'',''c'' og ''d'' det samme som (''A,B;C,D'')]]
Mer generelt kan man vise at dobbeltforholdet for fire punkt på et generelt [[kjeglesnitt]] har en veldefinert verdi når det beregnes fra et femte punkt på den samme kurven. Det skyldes at de forskjellige kjeglesnittene kan forbindes ved [[Projektivt plan#Projektive transformasjoner|projektive transformasjoner]]. Relasjoner mellom linjer og skjæringspunkt som kan kan bevises for en sirkel, vil da automatisk også gjelde for de andre kjeglesnittene.<ref name = CR/>

Projektiv i planet har en [[Projektivt plan#Dualitet|dualitet]] som betyr at alle utsagn som gjelder for punkt og linjer skal forbli gyldige når deres roller byttes om. Punkt på en linje går over til pensel av linjer gjennom et punkt og omvendt. Under en slik transformasjon går et punkt på et kjeglesnitt over til en tangentlinje i et annet punkt. Det betyr at eksistensen av dobbeltforholdet til fire punkt på et kjeglesnitt medfører at det også eksisterer  for fire tangenter til den samme kurven. Forholdet kan bestemmes ved de fire skjæringspunktene som tangentene har med en femte, vilkårlig tangentlinje.<ref name = Faulkner/>

Ved hjelp av dobbeltforholdet kan linjene i to forskjellige linjebunter relateres. Skjæringspunktene mellom tilsvarende linjer vil da ligge på et kjeglesnitt. Dette kan igjen brukes til å gi en definisjon av kjeglesnitt som er mer generell enn den vanlige definisjonen basert på euklidsk geometri.