Redigerer Dirac-ligning (avsnitt)

==Adjungert ligning==

Dirac-spinoren <math> \psi </math> er en kolonnevektor med fire komponenter som alle kan være [[komplekst tall|komplekse]]. Den adjungerte spinoren blir dermed  radvektoren <math> \psi^\dagger = (\psi_1^*,\psi_2^*,\psi_3^*,\psi_4^* ). </math>  Da Hamilton-operatoren skal være hermitisk, må også matrisene <math> \boldsymbol{\alpha}  </math> og <math> \beta \,</math> være det. Den [[Matrise#Konjungert transponering|kompleks-transponerte]] av Dirac-ligningen blir dermed

: <math> -i\hbar\frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t} =  ci\hbar\boldsymbol{\nabla}\psi^\dagger\cdot\boldsymbol{\alpha} +   mc^2\beta\psi^\dagger </math>

om omtales vanligvis som den «hermetisk adjungerte» ligningen. 

===Bevart strøm===

Multipliseres denne med <math> \psi </math> fra høyre og trekkes så fra den opprinnelige Dirac-ligningen multiplisert med <math> \psi ^\dagger </math> fra venstre, fremkommer

: <math> i\hbar\left(\psi^\dagger \frac{\partial\psi}{\partial t} + \frac{\partial\psi^\dagger}{\partial t} \psi \right) = - i\hbar c[\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{\nabla}\psi + (\boldsymbol{\nabla}\psi^\dagger)\cdot\boldsymbol{\alpha}\psi ] </math>

Ved å definere den skalare størrelsen <math> \rho = \psi^\dagger\psi \;</math> og vektoren <math> \mathbf{J}= c\psi^\dagger\boldsymbol{\alpha}\psi \, </math> kan denne sammenhengen skrives mer kompakt som en [[kontinuitetsligning]]en

: <math> \frac {\partial \rho}{\partial t} + \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{J} = 0</math>

Den viser at <math> \rho \;</math> kan betraktes som en positiv [[Schrödinger-ligning#Sannsynlighetstetthet|sannsynlighetstetthet]] for bølgefunksjonen <math> \psi </math> på samme måte som for Schrödinger-ligningen. Da er <math> \mathbf{J} \;</math> den tilsvarende [[Schrödinger-ligning#Sannsynlighetsstrøm|sannsynlighetsstrømmen]] som formelt inneholder hastigheten <math> \mathbf{v} = c\boldsymbol{\alpha}\, </math> til partikkelen.<ref name = Bethe/>