Redigerer Boltzmann-fordeling (avsnitt)

===Ising-spinn===

Kanskje det enkleste system man kan beskrive ved Boltzmann-fordelingen, er et enkelt [[dreieimpuls|spinn]] som er lokalisert for eksempel i et fast stoff og kan innta to retninger {{nowrap|''&sigma;'' {{=}} &plusmn; 1}}. Det kan derfor kun befinne seg i to mikrotilstander og kalles ofte i denne sammenhengen for et «Ising-spinn». Når det er i termisk likevekt, vil det ved observasjon peke like mange ganger i den ene som i den andre retningen. Men hvis det har et magnetisk moment {{nowrap|''m'' {{=}} ''&mu;&sigma;''}} og er omgitt av et [[magnetfelt]] ''B'', vil det ha en energi {{nowrap|''E<sub>&sigma;</sub>'' {{=}} - ''mB''}} som kan anta de to verdien &plusmn;''&mu;B''. Sannsynligheten for å befinne seg i en bestemt tilstand er da

: <math> p_\sigma = {1\over Z} e^{-\beta E_\sigma} </math>

hvor <math> \beta = 1/k_BT . </math> Normeringskonstanten ''Z&thinsp;'' er bestemt ved at summen over de to sannsynlighetene er én, det vil si

: <math> Z = e^{\mu B/k_BT} + e^{-\mu B/k_BT} = 2\cosh{\mu B\over k_BT} </math>

Generelt involverer den en sum over alle mikrotilstander og kalles for systemets [[Partisjonsfunksjon (statistisk mekanikk)|partisjonsfunksjon]]. Betegnelsen ''Z&thinsp;'' stammer fra det tyske ordet ''Zustandssumme'' for tilstandssum.

Den midlere energien til spinnet er på tilsvarende måte

: <math> \langle E \rangle = {1\over Z} \sum_{\sigma = \pm 1} \, E_\sigma \, e^{-\beta E_\sigma} =  -{\partial\over\partial\beta}\ln Z  </math>

Dette er en generell relasjon  som følger fra definisjonen av partisjonsfunksjonen.  Da man her kan skrive middelverdien <math>  \langle E \rangle = \mu  \langle m \rangle , </math> blir den midlere [[magnetisering]]en av spinnet  <math> \langle m \rangle = 
\mu\tanh (\mu B/k_B T). </math>  Når  det ytre feltet er så sterkt at <math> \mu B \gg k_B T, </math> vil det derfor overvinne de termiske påvirkningene og spinnet peker alltid i samme retning langs feltet. I det motsatte tilfellet er disse så store at den midlere magnetiseringen forblir lik null.<ref name = KK/>