Redigerer Bohr-Sommerfeld-kvantisering (avsnitt)

==Harmonisk oscillator==

En partikkel som kan bevege seg i en dimensjon og er utsatt for en kraft som øker proporsjonalt med avstanden til et likevektspunkt, er en [[harmonisk oscillator]]. Den vil bevege seg periodisk med tiden på en måte som alltid kan beskrives ved en enkel [[trigonometrisk funksjon|sinusfunksjon]]. Dette enkle systemet har stor betydning i klassisk fysikk, men kanskje enda større i [[kvantemekanikk]]en. Ikke er det bare eksakt løsbart på forskjellige måter, man danner også grunnlaget for kvantiseringen av det [[elektromagnetisk felt|elektromagnetiske feltet]] og mer generell [[kvantefeltteori]].<ref name = BJ> B.H. Bransden and C.J. Joachain (2000). ''Quantum Mechanics'', Prentice Hall, New York (2000). ISBN 978-0-582-35691-7.</ref>

Det mekaniske problemet i en dimensjon omhandler en partikkel med masse ''m'' som kan bevege seg langs ''x''-aksen mot en kraft {{nowrap|''F {{=}} kx&thinsp;''}} som er null i likevektspunktet {{nowrap|''x'' {{=}} 0}}. Her er ''k'' kraftkonstanten. Det tilsvarer at den har en [[potensiell energi]] ''V'' = (1/2)''kx''<sup>2</sup> og derfor en total energi

: <math>  E  ={p^2\over 2m} + {1\over 2}kx^2  </math>

når den har [[bevegelsesmengde|impuls]] ''p''. Denne blir null ved de to klassiske vendepunktene ''x'' = &plusmn; ''a'' hvor avstanden ''a'' = &radic;(2''E''/''k''). En lukket bane til partikkelen tilsvarer da for eksempel en bevegelse fra ''x'' = - ''a'' frem til ''x'' =  ''a'' og derfra tilbake til utgangspunktet. Det betyr at de Bohr-Sommerfeld-kvantiserte energiene er gitt ved betingelsen

: <math> 2\int_{-a}^a\!dx\sqrt{2mE - kmx^2} = nh </math>

Integralet kan omformes til

: <math> 2\cdot 2\sqrt{2mE}\int_0^a\! dx\sqrt{1 - x^2/a^2} = 4\sqrt{2mE}\, {a\pi\over 4} = nh </math>

etter å ha innført  ''u'' som ny integrasjonsvariabel definert ved ''x = a''&thinsp;sin''u''. Herav kan de kvantiserte energiene finnes med resultatet

: <math> E_n = \hbar\omega\, n , \;\;\; n = 1,2,3, \ldots </math>

hvor ''&omega;'' = &radic;(''k''/''m'') er egenfrekvensen til oscillatoren. Energinivåene har derfor alle samme avstand ''ħ&omega;''. Dette er i overenstemmelse med det eksakte, kvantemekaniske resultatet,

: <math> E_n = \hbar\omega (n + 1/2) , \;\;\; n = 0, 1,2,3, \ldots </math>

selv om de halvklassiske verdiene ligger alle over med en størrelse (1/2)''ħ&omega;'' som tilsvarer «nullpunktsenergien» til den kvantiserte oscillatoren. For store verdier av kvantetallet ''n'' faller de to resultatene sammen.

Her skaper [[WKB-approksimasjon]]en bedre overenstemmelse også ved lave verdier av kvantetallet ''n''. Da det harmoniske potensialet har to ''myke'' vendepunkt {{nowrap|&plusmn; ''a''}}, mens det lineære potensialet bare har ett, vil denne bedre approksimasjonen erstatte ''n'' med ''n'' - 1/2. Overensstemmelsen med de eksakte resultatene er da perfekt for alle verdier av ''n''.<ref name = Griffiths/>