Redigerer Biot-Savarts lov (avsnitt)

==Historie==

Kort tid etter at [[Hans Christian Ørsted|Ørsted]] sommeren 1820  annonserte sin oppdagelse av magnetiske krefter forårsaket av en elektrisk strøm, ble flere eksperimentelle undersøkelser startet opp i [[Paris]] av medlemmer av [[det franske vitenskapsakademiet]]. Mens [[Ampère]] ville finne den fundamentale loven som beskriver den [[Ampères kraftlov|magnetiske kraften]] mellom elektriske strømmer, undersøkte [[Jean-Baptiste Biot|Biot]] og [[Félix Savart|Savart]] hvordan strømmen i en vertikalt montert ledning virker på en liten, horisontalt opphengt [[kompass]]nål. Denne var plassert inne i en glassbeholder for å beskytte nålen mot luftstrømmer og virkningen av det [[Jordens magnetfelt|jordmagnetiske feltet]] var forsøkt eliminert. Størrelsen av den magnetiske kraften kunne bestemmes ut fra [[periode (fysikk)|svingetiden]] til nålen.<ref name = Tricker>R.A.R. Tricker, ''Early Electrodynamics'', Pergamon Press, London (1965).</ref>

På denne tiden var trodde man at magnetiske krefter fulgte en tilsvarende lov som [[Coulombs lov]] for elektriske krefter. En kompassnål beveget seg ved at den magnetiske kraften virket på N- og S-polen til nålen som skulle bestå av motsatt [[magnet|magnetisk ladning]]. Som arbeidshypotese antok de derfor at kraften mellom en slik ladning og et strømelement ''Id''&thinsp;'''s''' på ledningen ville være proporsjonal med

: <math> dB = k_m  {Ids\over r^2}f(\alpha) </math>

hvor konstanten ''k<sub>m</sub>'' er bestemt av [[Måleenhet|målesystemet]] man benytter. Her er ''r'' avstanden mellom strømelementet og kompassnålen, mens ''&alpha;'' er vinkelen mellom denne retningen og retningen til strømelementet. Denne vinkelen inngår i en ukjent funksjon ''f''&thinsp;(''&alpha;'') som måtte bestemmes eksperimentelt.

===Første eksperiment===

De første målingene viste at den totale kraften på kompassnålen fra en rett leder var omvendt proporsjonal med avstanden ''b'' til denne.  For denne geometrien er {{nowrap|''ds''&thinsp;sin''&alpha;'' {{=}} ''rd&alpha;''}} hvor {{nowrap|sin''&alpha;'' {{=}} ''b''/''r''}}. Innsatt i den antatte loven, blir da den resulterende kraften

: <math> B = {2 k_m I\over b} \int_0^{\pi/2} \!d\alpha f(\alpha) </math>

hvor faktoren 2 opptrer fordi hver halvdel av ledningen gir samme bidrag. Det gjenstående integralet er bare en numerisk konstant slik at resultatet avtar som 1/''b''. På den måten fikk de bekreftet den fundamentale antagelsen at delkraften fra hvert strømelement skulle avta som {{nowrap|1/''r''<sup>&thinsp;2</sup>}}.

===Andre eksperiment===

For å bestemme den ukjente funksjonen ''f''&thinsp;(''&alpha;'') gjennomførte Biot og Savart en nye serie med målinger av kraften utenfor en ledning som ble bøyet slik at den hadde formen som en horisontal V med åpningsvinkel 2''&theta;''. Kompassnålen befant seg utenfor knekkpunktet i avstand ''b'' fra dette. Igjen ble det observert at den totale kraften fra hele ledningen varierte omvendt proporsjonalt med denne avstanden samtidig som den økte med åpningsvinkelen ''&theta;''.<ref name = Erlichson>H. Erlichson, ''The experiments of Biot and Savart concerning the force exerted by a current on a magnetic needle'', American Journal of Physics, '''66'''&thinsp;(5), 385-391 (1998).</ref>  Etter konsultasjoner med [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] konkluderte de med at funksjonen  ''f''&thinsp;(''&alpha;'') = sin''&alpha;'' slik at deres magnetiske lov fikk sin endelige form

: <math> d\mathbf{B} = k_m  I {d\mathbf{s}\times\mathbf{r}\over r^3} </math>

da [[vektorprodukt]]et her har størrelse ''dsr''&thinsp;sin''&alpha;''. Det er på denne formen deres magnetiske lov skrives i dag.

Det er fremdeles noe uklart hvordan de kom frem til dette resultatet basert på de første målingene i denne serien. Ampère påpekte at hvis den ukjente funksjonen var sin''&alpha;'', skulle totalkraften øke med tan(''&theta;''/2) og ikke med selve vinkelen. Igjen følger det fra integrasjon ved bruk av {{nowrap|''ds''&thinsp;sin''&alpha;'' {{=}} ''rd&alpha;''}}, men nå kombinert med kravet ''r''&thinsp;sin''&alpha;'' = ''b''&thinsp;sin''&theta;'' som følger fra geometrien i oppstillingen. Herav følger nå totalkraften

: <math> B = {2 k_m I\over b\sin\theta} \int_0^\theta \!d\alpha\sin\alpha = {2 k_m I\over b}\tan{\theta\over 2} </math>

For en rett ledning er ''&theta;'' = 90<sup>&deg;</sup> slik at dette resultatet er konsistent med hva som ble funnet i det første eksperimentet. Etter denne erkjennelsen kunne Biot og Savart ved nye målinger bekrefte avhengigheten tan(''&theta;''/2) som tilnærmet varierer proporsjonalt med vinkelen mellom  0<sup>&deg;</sup> og  90<sup>&deg;</sup> som de opprinnelig hadde konkludert.<ref name = Tricker/>