Redigerer Bølgefunksjon (avsnitt)

==Mange partikler==

[[Schrödinger-ligning#Mange partikler|Schrödinger-ligningen]] kan lett utvides til å beskrive et vilkårlig antall ''N&thinsp;'' med ikke-relativistiske partikler. Det resulterer i en bølgefunksjon &Psi; = &Psi;('''x'''<sub>1</sub>, '''x'''<sub>2</sub>, ..., '''x'''<sub>''N''</sub>,''t''&thinsp;) som inneholder all informasjon om egenskapene til systemet. Befinner det seg i en tilstand med en bestemt energi ''E'', er tidsavhengigheten igjen gitt som

: <math> \Psi(\mathbf{x}_1, .. , \mathbf{x}_N, t) =  \psi(\mathbf{x}_1, .. , \mathbf{x}_N) \, e^{-iEt/\hbar} </math>

Energien ''E&thinsp;'' er den totale energien til alle partiklene i systemet. Sannsynlighetstettheten er fremdeles gitt som &Psi;*&Psi;, men er nå en funksjon i et rom med 3''N&thinsp;'' romlige koordinater. For eksempel kan ikke den bølgemekaniske beskrivelsen av to partikler tenkes som to forskjellige bølger i det tredimensjonale rommet. Bølgefunksjonen har mistet alle likhetspunkter med en vanlig bølge, bortsett fra at den varierer i tiden med en bestemt frekvens når systemet har en gitt energi.<ref name = Liboff> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>

===Uavhengige partikler===

Når partiklene ikke har noen gjensidig vekselvirkning med hverandre, sies de å være uavhengige. De kan for eksempel alle bevege seg i et felles, ytre potensial som ikke varierer med tiden. [[Hamilton-operator]]en er da en sum av enklere operatorer som alle inneholder forskjellige variable.  I det enkleste tilfellet er partiklene helt frie når også dette bakgrunnspotensialet ikke finnes.

For to [[Schrödinger-ligning#To partikler|uavhengige partikler]] kan bølgefunksjonen skrives som et produkt

: <math> \psi(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) =  u(\mathbf{x}_1)v(\mathbf{x}_2) </math>

hvor funksjonene ''u''('''x''') og ''v''('''x''')  er løsninger av Schrödinger-ligningen for hver av dem. Partiklene har da energier ''E''<sub>1</sub> og ''E''<sub>2</sub> slik at totalenergien for systemet er {{nowrap|''E'' {{=}} ''E''<sub>1</sub> + ''E''<sub>2</sub>}}. 

Bølgefunksjonen kan også skrives som et slikt produkt når de to partiklene kun har en gjensidig vekselvirkning som avhenger av den relative avstanden {{nowrap|'''r''' {{=}} '''x'''<sub>1</sub> - '''x'''<sub>2</sub>}} mellom dem.  Dette gjelder for eksempel for de to partiklene som utgjør [[hydrogenatom]]et. Den ene bølgefunksjonen ''u'' = ''u''('''R''') vil da beskrive bevegelsen av [[massesenter]]et '''R''', mens funksjonen ''v'' = ''v''('''r''') vil beskrive den relative bevegelsen til de to partiklene.<ref name = Griffiths/>

===Identiske partikler===

Når partiklene er helt like med hverandre og ikke kan adskilles, sies de å være identiske. De klassifiseres da i to hovedgrupper avhengig av deres [[spinn]]. Når dette er heltallig, er de [[boson]]er som må beskrives med helt symmetriske bølgefunksjoner. Den andre klassen med halvtallige spinn er [[fermion]]er og beskrives med helt antisymmetriske bølgefunksjoner.<ref name = Liboff/>

Da produktet av to funksjoner med forskjellige argument, generelt ikke er hverken symmetrisk eller antisymmetrisk i de to argumentene, vil bølgefunksjonen for identiske partikler vanligvis bestå av en sum av flere ledd som har den ønskede symmetrien. For eksempel, vil to uavhengige bosoner hvor det ene er i énpartikkeltilstanden ''u''<sub>1</sub>('''x''') og det andre i en tilsvarende tilstand ''u''<sub>2</sub>('''x'''), ha den symmetriske bølgefunksjonen

: <math>  \psi_S(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = u_1(\mathbf{x}_1)u_2(\mathbf{x}_2) + u_1(\mathbf{x}_2)u_2(\mathbf{x}_1) </math>

Disse to tilstandene kan godt være den samme på lignendene måte som at de to bosonene kan befinne seg i samme punkt. Derimot hvis de to partiklene er fermioner, er deres felles bølgefunksjon gitt ved den antisymmetriske kombinasjonen

: <math>  \psi_A(\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2) = u_1(\mathbf{x}_1)u_2(\mathbf{x}_2) - u_1(\mathbf{x}_2)u_2(\mathbf{x}_1) </math>

Den er automatisk lik null når de to tilstandene er de samme. Likedan er denne bølgefunksjonen null hvis de to fermionene befinner seg i samme punkt, det vil si når '''x'''<sub>1</sub> = '''x'''<sub>2</sub>. Dette er et uttrykk for [[Paulis eksklusjonsprinsipp]].

For større antall med identiske partikler kan bølgefunksjoner konstrueres på lignende måte slik at de har den ønskede symmetri.<ref name = Wessbluth> M. Wessbluth, ''Atoms and Molecules'', Academic Press, New York (1978). ISBN 0-12-744452-1.</ref>

===Andrekvantisering===

For systemer med veldig mange identiske partikler er det ofte hensiktsmessig å erstatte en beskrivelse ved bølgefunksjoner med [[andrekvantisering]]. Fra løsningene ''u<sub>n</sub>''('''x''') av Schrödinger-ligningen med energier ''E<sub>n</sub>'' vil da den mest generelle bølgefunksjon for én partikkel skrives som

: <math> \Psi(\mathbf{x},t) = \sum_n a_n u_n (\mathbf{x}) e^{-iE_nt/\hbar} </math>

hvor koeffisientene ''a<sub>n</sub>'' er komplekse tall. Ved å la disse bli operatorer <math> \hat{a}_n </math> i et utvidet [[Hilbert-rom]], fremkommer da [[kvantefeltteori|kvantefeltoperatoren]]

: <math> \hat{\Psi}(\mathbf{x},t) = \sum_n \hat{a}_n u_n (\mathbf{x}) e^{-iE_nt/\hbar} </math>

Her er nå  <math> \hat{a}_n </math> en [[stigeoperator]] som fjerner en partikkel fra tilstanden ''u<sub>n</sub>''('''x'''), mens den adjungerte operatoren <math> \hat{a}^\dagger_n </math> skaper en partikkel i den samme tilstanden. På dette vis kan feltoperatoren <math> \hat{\Psi} </math> sies å fjerne en partikkel fra posisjon '''x''' ved tiden ''t'', mens den adjungrete operatoren <math> \hat{\Psi}^\dagger </math> skaper en partikkel der på samme måte.<ref name = MF> S.S. Schweber, H.A. Bethe and F. de Hoffmann, ''Mesons and Fields'', Volume I: ''Fields'', Row, Peterson and Company, Evanston Illinois (1955).</ref>