Redigerer Ampères sirkulasjonslov (avsnitt)

==Topologisk sammenheng==

Ampères sirkulasjonsteorem inneholder et dypt, [[topologi]]sk resultat. I deler av rommet hvor det ikke er noen elektriske strømmer, er {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' {{=}} 0}}. Magnetfeltet {{nowrap|'''B''' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>'''H'''}} kan derfor skrives som [[gradient]]en av et [[Magnetostatikk#Potensialteori|skalært potensial]], {{nowrap|'''H''' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&Psi;}}. Ved en integrasjon langs en [[kurve]]  som forbinder to punkt ''P''<sub>1</sub> og ''P''<sub>2</sub> i rommet, har man da at

: <math> \int_{P_1}^{P_2} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{s} = \Psi(P_1)-  \Psi(P_2) </math>

Selv om Ampère ikke tenkte på magnetiske krefter formidlet av et [[felt (fysikk)|felt]], viste han at en lukket strømsløyfe kunne tilordnes en matematisk størrelse som han kalte for en ''direktrise''.<ref name = Tricker>R.A.R. Tricker, ''Early Electrodynamics'', Pergamon Press, London (1965).</ref>  Den tilsvarer magnetfeltet '''H''' og kunne uttrykkes som gradienten av skalarpotensialet

: <math> \Psi = - I{\Omega \over 4\pi} </math>

hvor &Omega; er den [[romvinkel]]en som strømsløyfen sees under fra et gitt punkt ''P''. Beveger dette punktet seg bort et stykke, avtar romvinkelen. Hvis det så flytter seg tilbake til utgangspunket, gjerne langs en annen vei, vil vinkelen vokse og komme tilbake til den opprinnelige verdien i ''P''.

Men det er tilfelle kun når punktet i sin lukkete bevegelse ikke omslutter noen del av den strømførende ledning. Dette blir tydelig hvis man betrakter en plan strømsløyfe og et punkt ''P''<sub>1</sub> som ligger like under dette planet. Da er {{nowrap|&Omega;<sub>1</sub> {{=}} - 2''&pi;''&thinsp;}} hvor fortegnet er bestemt ved strømretningen. Hvis nå dette punktet beveger seg bort fra sløyfen, vokser romvinkelen &Omega; og blir null hvis punktet flytter seg til et punkt i planet utenfor sløyfen. Fortsetter så denne bevegelsen tilbake mot oversiden til sløyfen, vil  &Omega; bli positiv og fortsette å vokse. Og i et punkt  ''P''<sub>2</sub> på oversiden av sløyfen, men akkurat i samme posisjon som ''P''<sub>1</sub>, vil romvinkelen ha blitt til {{nowrap|&Omega;<sub>2</sub> {{=}}  2''&pi;''}}.
Punktet har da beskrevet en lukket kurve ''C'' og linjeintegralet fra ''P''<sub>1</sub> til ''P''<sub>2</sub> blir

: <math> \oint_C\! \mathbf{H} \cdot d\mathbf{s} =  {I\over 4\pi}\Big(2\pi - (-2\pi)\Big) = I </math>

Hadde punktet fortsatt sin bevegelse en slik runde til, ville integralet ha gitt to ganger strømmen som kurven ''C'' omslutter. Integralet teller derfor hvor mange ganger den lukkete integrasjonskurven ''C'' omslutter strømsløyfen. I [[topologi]]en kalles dette for kurvenes [[lenketall]] som sier hvor mange ganger den ene tvinner seg om den andre.

Denne sammenhengen ble først undersøkt av [[Gauss]] i 1833 i hans matematiske beskrivelse av magnetfeltet.<ref name = Whittaker>E.T. Whittaker, [https://archive.org/stream/historyoftheorie00whitrich#page/n5/mode/2up ''A History of the Theories of Aether and Electricity''], Longman, Green and Co, London (1910).</ref> Er den lukkete integrasjonskurven ''C''<sub>1</sub> og strømsløyfen  ''C''<sub>2</sub> og man uttrykker magnetfeltet skapt av denne ved [[Biot-Savarts lov]], så er derfor lenketallet ''m'' gitt ved det doble linjeintegralet

: <math> m = \oint_{\!C_1} \! \oint_{\!C_2} \!\ {(d\mathbf{s}_1\times d\mathbf{s}_2)\cdot (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \over 4\pi |\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3} </math>

etter å ha benyttet egenskapen '''a'''&sdot;('''b'''&thinsp;&times;&thinsp;'''c''') = ('''a'''&thinsp;&times;&thinsp;'''b''')&sdot;'''c''' til det [[Vektorprodukt#Skalart trippelprodukt|skalære trippelproduktet]] i telleren. Denne størrelsen ble gjenoppdaget av [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] i 1867 og er nå en sentral del av moderne [[knuteteori]].<ref>R.L. Ricca and B. Nipoti,  [https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/ricca.pdf ''Gauss' linking number revisited''], Journal of Knot Theory and Its Ramifications  '''20'''(10), 1325–1343 (2011).</ref>