Redigerer Ampères kraftlov (avsnitt)

==Historisk utvikling==

Etter at [[Hans Christian Ørsted|Ørsted]] sommeren 1820 bekjentgjorde sin oppdagelse av hvordan en elektrisk strøm kan utøve en magnetisk kraft, gikk flere av de mest sentrale vitenskapsmenn ved [[Det franske vitenskapsakademiet]] i [[Paris]] i gang med å studere dette nye fenomenet. Denne store interessen ble snart konsentrert rundt [[André-Marie Ampère|Ampère]] og en gruppe bestående av  [[Jean-Baptiste Biot|Biot]] og [[Félix Savart|Savart]]. Mye av det teoretiske grunnlaget for deres undersøkelser var allerede lagt av [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]]. Han hadde i lengre tid at alle fundamentale krefter i naturen måtte kunne beskrives ved sentrale krefter som avtok omvendt proporsjonalt med avstanden på samme måte som [[Newtons gravitasjonslov|Newtons lov]] for [[tyngdekraften]]. Denne tankegangen kom derfor til å prege utformingen av de nye lovene for den magnetiske kraften. Denne antagelsen ble også snart styrket da den forklarte at kraften utenfor en lang, rett leder avtok omvendt proporsjonalt med avstanden<ref name = Tricker>R.A.R. Tricker, ''Early Electrodynamics'', Pergamon Press, London (1965).</ref>

Med denne bakgrunnen kunne Biot og Savart snart sammenfatte sine observasjoner i det som i dag kalles [[Biot-Savarts lov]] for det magnetiske feltet. Den er i overensstemmelse med hva som kvalitativt allerede var formulert som [[Ørsteds lov]], men matematisk mer presis. De analyserte sine målinger ut fra et bilde hvor strømmen i en leder gjorde den magnetisk slik at den kunne påvirke andre magneter som befant seg utenfor ledningen.

Ampère derimot var overbevist om at alle magnetiske krefter skyldes vekselvirkninger mellom elektriske strømmer. For eksempel skulle det [[Jordens magnetfelt|jordmagnetiske feltet]] skyldes strømmer i [[Jorden]]s indre, mens de magnetiske egenskapene til en [[magnet|stavmagnet]] var de samme som for en [[spole (induktans)|strømspole]]. På samme måte skulle en permanent magnet bestå av et stort antall mikroskopiske strømsløyfer som var orienterte i den samme retning. Han anså derfor loven for kraften mellom to strømsløyfer som den fundamentale forklaringen av alle magnetiske fenomen.<ref name = Darrigol>O. Darrigol, ''Electrodynamics from Ampère to Einstein'', Oxford University Press, Oxford (2003). ISBN 0-19-850593-0.</ref>

===Ampères opprinnelige formulering===

I sin søken etter denne loven var Ampère inspirert av [[Newtons gravitasjonslov]] for vekselvirkningen mellom to massepunkt. Denne kraften avtar omvendt proporsjonalt med avstanden og er sentral, det vil at den er rettet langs forbindelseslinjen mellom dem. Kraften mellom større massefordelinger kunne så finnes fra en summasjon eller integrasjon av kreftene mellom enkelte massepunkt. I stedet for massepunkt antok Ampère at den magnetiske vekselvirkningen på samme måte kunne beskrives som en kraft mellom korte linjestykker ''Id''&thinsp;'''s''' som de strømførende ledningene kunne deles opp i. Den skulle være sentral og oppfylle [[Newtons lover|Newtons tredje lov]] om kraft og motkraft som like store og motsatt rettede. Men da strømelementene generelt kunne ha forskjellig orientering i rommet, måtte den nye loven forventes å være mer komplisert.

Det første utkast til loven ble fremlagt allerede i desember 1820. Hvis ''I''<sub>1</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub> og ''I''<sub>2</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>2</sub> er de to strømelementene med posisjoner '''r'''<sub>1</sub> og '''r'''<sub>2</sub>, vil de danne vinklene ''&theta;''<sub>1</sub> og ''&theta;''<sub>2</sub> med forbindelseslinjen mellom dem gitt ved vektoren {{nowrap|'''r''' {{=}}  '''r'''<sub>1</sub> -  '''r'''<sub>2</sub>}}. Utfra teoretiske og eksperimentelle betraktninger hadde Ampère kommet frem til at kraften  måtte ha en størrelse gitt ved

: <math> d^2F = k_m {2I_1I_2\over r^2}ds_1ds_2 (\sin\theta_1\sin\theta_2\cos\omega + k\cos\theta_1\cos\theta_2) </math>

Her er ''k<sub>m</sub>'' en konstant avhengig av hvilket målesystem man benytter. I [[SI-systemet]] er ''k<sub>m</sub>'' = ''&mu;''<sub>0</sub>/4''&pi;''. Videre er ''&omega;'' den [[dihedral vinkel|dihedrale vinkelen]] mellom de to planene som forbindelseslinjen og strømelementene danner.<ref name = Tricker/> Den første delen av uttrykket dominerer kraften mellom to parallelle element som har, mens den andre gjelder for strømelement som ligger på samme linje og derfor har {{nowrap|''&theta;''<sub>1</sub> {{=}} ''&theta;''<sub>2</sub>}} = 0.  Konstanten ''k'' angir deres relative styrke. Opprinnelig mente Ampère at ''k'' = 0, men etter et par år med nærmere, eksperimentelle undersøkelser kom han frem til at ''k'' = -1/2.<ref name = Darrigol/>

I en presentasjon for vitenskapsakademiet i 1822 ga Ampère en ny versjon av sin formel. Ved å innføre vinkelen ''&epsilon;'' mellom strømelementene  ''I''<sub>1</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub> og ''I''<sub>2</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>2</sub> sier [[cosinussetningen]] i [[sfærisk geometri]] at

: <math> \cos\varepsilon = \cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2\cos\omega </math>

Dermed kan loven hans skrives som

: <math> d^2F = k_m {2I_1I_2\over r^2}ds_1ds_2 (\cos\varepsilon + h\cos\theta_1\cos\theta_2) </math>

hvor ''h = k'' - 1. Med ''k'' = -1/2 er da ''h'' = -3/2. Dette kan betraktes som den endelige form av Ampères magnetiske kraftlov.

Samtidig med dette etablerte Biot og Savart sin lov for det som man i dag kaller det magnetiske feltet. Selv om de hadde et annet, teoretisk utgangspunkt, ble deres resultat styrket ved gjensidig vekselvirkning med medlemmer av gruppen rundt Ampère.<ref name = Assis>A.K.T. Assis and J.P.M.C. Chaib, ''Ampère's Electrodynamics'', Apeiron, Montreal (2015). ISBN 978-1-987980-03-5.</ref>

===Vektornotasjon===

Ved å innføre mer moderne notasjon basert på [[vektor (matematikk)|vektorer]], kan Ampères kraftlov skrives på en form som gjør den mer gjenkjennelig. Da har man at
{{nowrap|''ds''<sub>1</sub>''ds''<sub>2</sub>&thinsp;cos''&epsilon;'' {{=}} ''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub>&sdot;''d''&thinsp;'''s'''<sub>2</sub>}} og på samme måte

: <math> ds_1\cos\theta_1 = d\mathbf{s}_1\cdot\hat\mathbf{r}, \;\;\;  ds_2\cos\theta_2 = d\mathbf{s}_2\cdot\hat\mathbf{r}</math>

hvor enhetsvektoren <math> \hat\mathbf{r} = \mathbf{r}/r </math>. Med ''h'' = - 3/2 kan da Ampères lov for kraften som virker på det første linjestykket, skrives som

: <math> d^2\mathbf{F}_1 = - k_m {I_1I_2\over r^2}[2(d\mathbf{s}_1\cdot d\mathbf{s}_2) - 3(\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_1)(\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_2)] \hat\mathbf{r} </math>

Denne formen gjør tydelig at kraften er rettet langs forbindelseslinjen mellom de to strømelementene. Likedan er den symmetrisk på den måten at kraften på det andre strømelementet er <math> d^2\mathbf{F}_2 = - d^2\mathbf{F}_1 </math> i overensstemmelse med Newtons tredje lov.

===Grassmanns modifikasjon===

I 1845 lanserte den tyske matematik [[Hermann Grassmann]] en enklere formulering av den magnetiske kraften mellom to strømelement.<ref name = Grassmann>H. Grassmann, [https://books.google.de/books?id=lGFDAQAAMAAJ&pg=PA1&lpg=PA1&dq=hermann+grassmann+neue+theorie+der+elektrodynamik&source=bl&ots=2OXy_D_t6X&sig=mqYm2xte6RlwJ33-UKirHHWokzg&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjin8Wph8HZAhXOzqQKHTJ7BY8Q6AEISDAG#v=onepage&q=hermann%20grassmann%20neue%20theorie%20der%20elektrodynamik&f=false ''Neue Theorie der Elektrodynamik''], Annalen der Physik und Chemie '''64''' (1), 1-18 (1845).</ref> Her på pekte han at Ampères lov ga null kraft når disse er parallelle slik at vinkelen ''&epsilon;'' = 0 og danner vinkelen ''&theta;'' med forbindelseslinjen slik at {{nowrap|2 - 3&thinsp;cos<sup>2</sup>''&theta;'' {{=}} 0}}. Denne kritiske vinkelen har derfor en verdi bestemt ved {{nowrap|cos<sup>2</sup>''&theta;'' {{=}} 2/3}} som tilsvarer at {{nowrap|cos&thinsp;2''&theta;'' {{=}} 1/3}}. Det betyr at ''&theta;'' = 35&deg;. Har vinkelen mellom strømelementene en verdi mindre enn denne, ville de frastøte hverandre og omvendt for større vinkler.<ref name = Assis/> Grassmann mente at en fundamental naturkraft ikke kunne ha en slik egenskap.

På denne tiden hadde han utviklet en ny geometrisk algebra som i våre dager vanligvis omtales som [[ytre algebra]]. Her inngikk et antisymmetrisk vektorprodukt som senere viste seg å tilsvare det vektorielle [[kryssprodukt]]et. Ved bruk av dette kunne han skrive sin alternative kraftlov ved bruk av moderne vektornotasjon som

: <math> d^2\mathbf{F}_1 = k_m {I_1I_2\over r^2} d\mathbf{s}_1\times (d\mathbf{s}_2 \times \hat\mathbf{r}) = -  k_m {I_1I_2\over r^2}[(d\mathbf{s}_1\cdot d\mathbf{s}_2)\hat\mathbf{r}  - (\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_1)d\mathbf{s}_2] </math>

Denne  magnetiske kraften virker alltid vinkelrett på strømelementet. I tillegg gir den ingen vekselvirkning  mellom to kollineære strømelement. Og det var det Ampère opprinnelig hadde forventet fra sin egen formulering.

Men kraften er ikke lenger antisymmetrisk i de to strømelementene slik at Newtons tredje lov derfor ikke er oppfylt. Dette synes ikke å ha vært noe problem for Grassmann. Derimot var det viktigere for han at når man integrerte all bidragene som virket på det første strømelementet, så ga uttrykket hans det samme resultatet som formelen til Ampère. 
Matematisk henger det sammen med at

: <math> \oint_{C_2} {3\over r^2 }(\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_1)(\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_2) \hat\mathbf{r} =  \oint_{C_2}{1\over r^2}[(d\mathbf{s}_1\cdot d\mathbf{s}_2) \hat\mathbf{r}  + (\hat\mathbf{r}\cdot d\mathbf{s}_1)d\mathbf{s}_2]</math>

som igjen skyldes at et eksakt differensial ikke bidrar under en lukket sløyfeintegrasjon.
Og da det er denne integrerte kraften som tilsvarer hva man kan observere laboratoriet, ville det ikke være mulig å skille mellom disse to formuleringene ved direkte målinger.

I Grassmanns formulering kan man benytte  [[Biot-Savarts lov]] og innføre det magnetiske feltet

: <math> d\mathbf{B}(\mathbf{r}_1) = k_m I_2 {d\mathbf{s}_2 \times \hat\mathbf{r}\over r^2} </math>

som det andre strømelementet ''I''<sub>2</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>2</sub> skaper i posisjon '''r'''<sub>1</sub> til det første elementet. Ved bruk av samme notasjon blir dette derfor utsatt for en tilsvarende kraft som lar seg skrive som
{{nowrap|''d''<sup>&thinsp;2</sup>'''F'''<sub>1</sub>('''r'''<sub>1</sub>)  {{=}} ''I''<sub>1</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub>&thinsp;&times;&thinsp;''d''&thinsp;'''B'''('''r'''<sub>1</sub>)}}. Ved integrasjon over den andre strømsløyfen ''C''<sub>2</sub>, kan dermed totalkraften som virker på strømelementet ''I''<sub>1</sub>''d''&thinsp;'''s'''<sub>1</sub> skrives som

: <math> d\mathbf{F}_1 = I_1 d\mathbf{s}_1\times \mathbf{B} </math>

hvor nå '''B''' er det total magnetfeltet som den andre strømsløyfen skaper i posisjonen til det første elementet. Dette resultatet vil nå også følge fra Ampères opprinnelige formulering. Han hadde tidligere funnet uttrykket uten å ville se noe fysisk innhold av det som her er det magnetiske feltet. Denne størrelsen omtalte han derimot som en ''direktrise'' som kunne tilordnes enhver strømsløyfe og hadde visse interessante, matematiske egenskaper.<ref name = Tricker/>

===Maxwells syntese===

I de følgende årene forble arbeidet til Grassmann i stor grad oversett. Derimot fortsatte mange andre som [[Gauss]], [[Wilhelm Eduard Weber|Weber]], [[Bernhard Riemann|Riemann]] og [[Rudolf Clausius|Clausius]] å utvikle alternative beskrivelser av den magnetiske kraften. Disse anstrengelsene bygde i stor grad på Ampères formulering, men førte ikke til noen videre forståelse.<ref name = Darrigol/>

Situasjonen ble første avklart av [[James Clerk Maxwell|Maxwell]] rundt 1870. Han viste at det finnes en uendelighet av forskjellige kraftlover for vekselvirkningenen mellom to strømelement som alle vil gi den samme totalkraften ved integrasjon. Det er ikke fysisk meningsfullt å diskutere direkte vekselvirkninger mellom isolerte strømelement. Kun den totale kraften skapt av en lukket strømsløyfe er veldefinert og kan uttrykkes ved det magnetiske feltet den forårsaker og bestemt ved Biot-Savarts lov. Likedan kan ikke denne kraften lokaliseres til å virke i bestemte punkt langs en ledning. Det er bare den totale kraften på en hel strømsløyfe som er fysisk meningsfull og kan bestemmes eksperimentelt. I alminnelighet kan den skrives som

: <math> \mathbf{F} = I \oint\! d\mathbf{s}\times\mathbf{B} </math>

Når magnetfeltet er skapt av en annen strømsløyfe, vil totalkreftene som virker på dem, være like store og motsatt rettet i overensstemmelse med Newtons tredje lov.