Redigerer Trekant (avsnitt)

== Historie ==
Geometri, inkludert studiet av trekanter, har dype røtter i matematikkens oldtid.  Ifølge historikeren [[Herodot]] ble geometrien født i [[Egypt]], da man hadde behov for å måle opp jordbruksland som var blitt oversvømt av Nilen.  

[[Fil:Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330).png|right|thumb|200px|Problem R49→R55 i Rhind-papyrusen]]
=== Egypt og Mesopotamia ===
Den berømte [[Rhind-papyrusen]] fra Egypt omkring 1650 f.Kr inneholder blant mye annet en metode for å beregne arealet av en likebeint trekant.  I bygging av [[pyramide]]r var det behov for å bygge sidene med konstant stigningstall, og egypterne utviklet en primitiv form for trigonometri.  Det er blitt hevdet at egypterne kjente til Pytagoras' læresetning, men det finnes ikke direkte bevis for dette i etterlatte manuskript.

[[Fil:Plimpton 322.jpg|left|thumb|Plimpton 322 med pytagoreiske tripler]]
I en tavle med kileskrift fra [[Mesopotamia]] forekommer en rekke med tre og tre tall, som alle oppfyller Pytagoras' læresetning, såkalte pytagoreiske tripler  Tavlen går under navnet ''Plimpton 322'' og er tidfestet til å være fra tidsperioden 1900 - 1600 f.Kr.   Det finnes ikke indikasjoner på at babylonerne kjente beviset for læresetningen.  Både babylonerne og egypterne brukte egenskaper til formlike trekanter. 

=== Antikken fram til Euklid ===
Den greske filosofen [[Tales fra Milet]] levde omkring 600 f.Kr og blir tillagt å ha ført bevis for at vinklene ved grunnlinjen i en likebeint trekant er like.  Han skal også ha bevist at to trekanter med to parvis like store vinkler og to like sider er kongruente.  Thales arbeid er bare kjent indirekte, gjennom andres omtale.

Pytagoras var en gresk filosof, mystiker og matematiker i fra øya [[Samos]], født ca. 580 f.Kr.  I [[Crotone|Kroton]] i Italia grunnla han en skole der elevene måtte studere både matematikk, religion og filosofi.  Pytagoreerne var et fellesskap der renselse av sjelen skulle oppnås gjennom et strengt levesett og gjennom religiøse ritualer.  I ritualene inngikk elementer av både filosofi og matematikk.  
Antagelig fikk pytagoreerne kunnskap om det som i dag kalles for Pytagoras' læresetning fra Babylon.  I antikken ble Pytagoras gitt æren for å ha bevist denne læresetningen, men det finnes ikke direkte bevis på at dette var tilfelle.

Pytagoreerne rangerte aritmetikk over geometri, og bevegelsen fikk stor innflytelse på utvikling av matematikk i hundreårene som fulgte.  Trekantgeometri spilte likevel en viktig rolle i en rekke arbeid i fra denne perioden, ikke minst i studiet av [[proporsjon]]er.  [[Platon]] grunnla omkring 387 f.Kr et [[Platons akademi|akademi]] i Athen, kjent for innskriften  «La ingen som er uvitende i geometri komme inn her».

[[Fil:Scuola di atene 07.jpg|right|thumb|Euklid framstilt i «[[Skolen i Athen]]» av [[Rafael]]]]
Den greske matematikeren [[Evklid|Euklid]] blir ofte kalt «geometriens far».  Han var virksom i [[Alexandria]] omkring tre hundre år før Kristus.  Fem manuskript er kjent fra Euklid, og i arbeidet ''Deling av figurer'' drøfter han et problem der en vilkårlig trekant skal deles i to av en linje parallell med grunnlinjen, slik at arealet av trekanten blir delt i nøyaktig to like deler.  Mest kjent er imidlertid Euklid for verket ''[[Euklids Elementer|Elementer]]'', der han som den første matematikeren bygger opp teorien fra et sett av [[aksiom]]er.  De første seks kapitlene er dedikert til plangeometri.  Her gir Euklid blant annet et bevis for Pytagoras' læresetning, og også for det «inverse» teoremet.  Senere har en rekke andre former for bevis blitt utledet.
I ''Elementer'' bok II, problem 13, gir Euklid også en form for cosinussetningen.  

Sammen med Euklid regnes [[Arkimedes]] og [[Apollonios fra Perge]] som de tre store matematikerne i perioden 300 - 200 f.Kr.  Apollonios er spesielt kjent for arbeid i geometri.  Teoremet som er oppkalt etter han er første gang beskrevet i verket [[Almagest]], skrevet av [[Klaudios Ptolemaios]] omkring to hundre år etter Kristus. 

=== Antikken etter Euklid ===
I studiet av geometri som fulgte Euklid vokste det også langsomt fram former for trigonometri - teori for sammenheng mellom trekantsider og vinkler.  Bidragene kom fra en rekke matematikere, men [[Hipparkus fra Nikea]] (ca. 180-ca. 125 f.Kr) har fått tilnavnet  «trigonometriens far», som den første som satte sammen en trigonometrisk tabell.  Den tidlige trigonometrien var i hovedsak knyttet til korder i en sirkel, ikke til trekanter.  Hipparkus var motivert av problem i astronomi, og også den videre utviklingen av trigonometri var i svært lang tid tett knyttet til astronomi, landmåling og navigasjon.  Først på 1600-tallet innså en at trigonometri kunne ha et langt videre bruksområde, for eksempel i fysikk. 

[[Heron av Alexandria|Heron]] levde som Euklid i Alexandria, men tre til fire hundre år senere, omkring 10-70 e.Kr.  Han var både ingeniør og matematiker, og som det siste er han mest kjent for formelen for å beregne arealet av en trekant fra sidelengdene.  Formelen opptrer for første gang i Herons arbeid ''Metrica'', men var antageligvis kjent også før Herons tid.  Heron er den første som er kjent for å bruke [[piktogram]]met Δ som symbol for en trekant i tekst.<ref name=FC1/>  

Blant matematikerne fra Alexandria var også [[Menelaos]], som i verket ''Sphaerica'' studerte trekantgeometri på en kuleflate.  Dette er det eneste arbeidet som er bevart etter Menelaos, som levde omkring 100 e.Kr. 

Ptolemaios' verk ''Almagest'' er en svært viktig kilde til kunnskap om gresk geometri og trigonometri.  Verket er skrevet omkring 200.  Som Hipparkus var Ptolemaios motivert av astronomi.  

Også [[Pappos fra Alexandria|Pappos]]  (3. - 4. århundre) var fra Alexandria, og han regnes som en av de siste store greske matematikerne.  I det mest kjente arbeidet ''Synagoge'' («Samling» ) gir han et bevis for en utvidet form for Pytagoras' læresetning, for en vilkårlig trekant.

=== Kina og India  ===
Del eldste kinesiske matematiske skriftene indikerer at også kinesisk geometri er vokst fram fra praktiske problem i landmåling.  I verket [[Ni kapitler om den matematiske kunst]] (Jiǔzhāng Suànshù) omhandler det siste kapittelet geometri for rettvinklede trekanter.  Verket er ikke nøyaktig tidfestet, men er antagelig satt sammen før 200 f.Kr. Her forekommer det såkalte «Brukne-bambus-problemet»:  En rett bambusplante 10 enheter lang er brukket, slik at toppen av treet danner en hypotenus i en trekant og treffer bakken 3 enheter fra foten av treet.  Problemet er å bestemme høyden opp til bruddstedet, og løsningen krever bruk av Pytagoras' læresetning.  

Basert på gresk matematikk videreutviklet indiske matematikere trigonometri, og sinusfunksjonen ble introdusert i det indiske astronomiske verket ''Siddhanta'' fra omkring 400.

=== Etter antikken ===
Etter den greske storhetstiden lå det meste av geometri lenge nede, utenfor interesseområdet til vitenskapen.  Arabiske matematikere tok imidlertid vare på interessen for trigonometri og astronomi, og ble formidlere av både indiske, gresk og egen kunnskap til Europa.  [[Thābit ibn Quarra]] (826-901) ga flere alternative bevis for Pytagoras' læresetning og også en generalisering av læresetningen til generelle trekanter.  Perseren [[Nasir al-Din al-Tusi]] (1201-1274) var den første som behandlet trigonometri uavhengig av astronomi og skrev et systematisk fem-binds verk om plan- og sfæriske trigonometri.    

[[Leonardo Fibonacci]] (1170-1250) er kjent for å ha introdusert arabiske tall i vesten, i verket [[Liber Abaci]].  Han utga i 1220 også boka ''Practica Geometriae'', der han blant annet beviser at medianene i en trekant deler hverandre i forholdet 1:2.  Boka inneholder også en analog til Pytagoras' læresetning i tre dimensjoner.  

Boka ''De triangulis omnimodus'' («Om trekanter av alle slag»), av den tyske matematikeren, astronomen og biskopen [[Regiomontanus]] (1436-1476), var et av de første rene verkene om trigonometri i Europa. Boka ble utgitt i 1533, etter Regiomontanus' død, men verket er skrevet omkring 1464.  Arbeidet til Regiomontanus ble gjort kjent ikke minst på grunn av videreformidling av astronomen [[Nikolaus Kopernikus]] (1473-1543).  [[Georg Joachim Rheticus]] (1514-1574) var elev hos Kopernicus, og i tobindsverket ''Opus palatinum de triangulis'' fortsatte han arbeidet til Regiomontanus og Kopernikus: Her ble trigonometri for første gang knyttet til en rettvinklet trekant og ikke til en sirkelkorde.  

Først på 1600-tallet begynte interessen for geometri å ta seg opp for fullt i Europa.  [[René Descartes]] (1596-1650) innførte med verket ''La Géométrie'' [[analytisk geometri]], en kombinasjon av geometri og algebra.  Arkitekten og ingeniøren [[Girard Desargues]] (1591-1661) arbeidet med problemer knyttet til [[perspektiv (kunst)|perspektiv]] og kan regnes som en grunnlegger av [[projektiv geometri]], studiet av geometriske egenskaper som er bevart under transformasjon av figurer.  Arbeidet ble ikke forstått og langt på vei neglisjert i samtiden.  [[Desargues' teorem]] gir vilkår for at to trekanter skal være i perspektiv og ble først publisert av Abraham Bosse etter Desargues' død.  Boss var en venn og elev av Desargues.   

Giovanni Ceva (1648-1734) var en italiensk professor i matematikk ved universitetet i [[Mantova]].  Han var spesielt interessert i geometri og er i dag mest kjent for å bevise teoremet som bærer navnet hans.  Han gjenoppdaget og publiserte også det såkalte [[Menelaos' teorem]] for en trekant.

Bruk av bokstavene ''a'', ''b'' og ''c'' for trekantlengdene og ''A'', ''B'' og ''C'' for de motstående hjørnene ble introdusert av den sveitsiske matematikeren [[Leonhard Euler]] (1707-1783).  Han brukte også bokstavene ''r'', ''R'' og ''s'' for henholdsvis radien i en innsirkel, radien i en omsirkel og semiperimeteren.  Formelen for radien i en omsirkel ble først utledet av Euler.

De to franskmennene [[Gaspard Monge]] (1746-1818) og [[Lazare Carnot]] (1753-1823) regnes som grunnleggere av moderne geometri.  Fransk var også [[Jean-Victor Poncelet]] (1788-1867) som  etter at arbeidet til Desargues var gått i glemmeboken kan sies å ha «gjenfødt» projektiv geometri. Sammen med [[Charles Brianchon]] (1785-1864) publiserte han i 1820-21 et artikkel som for første gang omtaler nipunktssirkelen.  Når sirkelen ofte blir gitt navn etter [[Karl Wilhelm Feuerbach]] (1800-1834), så
skyldes dette at Feuerbach publiserte mer omfattende teori i 1822.  Imidlertid beskrev også han bare seks av punktene knyttet til sirkelen.  Det såkalte ''Feuerbachs teorem'' knytter sammen nipunktssirkelen, innsirkelen og de tre ytre tangeringssirklene forbundet med en trekant, et resultat som er blitt karakterisert som «det vakreste teorem i elementær geometri som er blitt oppdaget siden Euklid».<ref name=CBB2/>   Et alternativt bevis for dette teoremet ble gitt i 1842 av [[Olry Terquem]] (1782-1862), som også utvidet antall karakteristiske punkt knyttet til nipunktssirkelen fra seks til ni.    

Nipunktssirkelen ble uavhengig av andre arbeid også oppdaget av Jakob Steiner (1796-1863), som i tillegg har gitt navnet til «Steiners innellipse». Steiner var født i Sveits, men var utdannet og arbeidet i Tyskland.  Han regnes som en av de betydeligste matematikerne innenfor fagområdet geometri i moderne tid.  

Den tyske matematikeren [[Moritz Pasch]] (1843-1930) ga i 1882 ut ''Vorlesungen über neuere Geometrie'', der han blant annet viser at Euklid implisitt brukte geometriske egenskaper som ikke var dekket av postulatene han ga.  Det som senere er blitt kalt ''Pasch' aksiom'' ble lansert for å komplettere Euklid.  Løst kan dette formuleres som at når en linje krysser en trekantside, så må linjen også krysse en av de andre to sidene i trekanten.  I 1899 publiserte [[David Hilbert]] (1862-1943) ''Grundlagen der Geometrie'', der han bygger opp geometri aksiomatisk.  Aksiomene skal gi et moderne fundament for euklidsk geometri. Ett av aksiomene omhandler kongruens av trekanter.