Redigerer Vekselstrøm (avsnitt)

===Trefasestrøm og spenning===
====Grunnleggende definisjoner====
[[File:Simpel-3-faset-generator.gif|thumb|right|Animasjon som viser generering av trefase vekselspenning på en svært enkel måte. Terminalene L1, L2 og L3 er tilknyttingspunktene for den eksterne kretsen.]]

Som nevnt over har trefase vekselstrømsystemer praktisk talt vært enerådende kraftsystemer helt siden 1890-tallet. Den meget stiliserte kretsen til venstre viser sterkt forenklet hvordan trefase vekselspenning kan induseres. Om de tre terminalene L1, L2 og L3 tilknyttes en ekstern krets, for eksempel en motor, vil det kunne gå en strøm i lederne og energi overføres til denne. Legg merke til at de tre spolene er (rød, brun og grønn) er orientert i rommet slik at det er 120º mellom dem (2π/3 radianer) om en setter senter i midten av den roterende magneten. Spenningen vil være symmetrisk om spolene har like mange vindinger, og fordi spolene er orientert i rommet som nevnt over vil spenningene for hver av terminalene være faseforskjøvet med 120º.

[[File:3 phase AC waveform.svg|thumb|De tre sinuskurvene som danner trefase vekselspenning eller strøm. Langs x-aksen er det angitt gradtallet, men dette kunne også vært tiden. Slik at hver av kurvene gjennomløper én hele periode i løpet av 20 ms for 50 Hz. Langs y-aksen vil en ha spenning eller strøm.]]

[[File:Vectordiagram.jpg|thumb|De tre vekselspenningene transformert over til fasevektorer. Her er betegnelsen for spenningene E<sub>1</sub>, E<sub>2</sub> og E<sub>3</sub>, og flere andre former finnes som a, b, c eller R, S, T.]]

Ideell syklisk symmetrisk sinusformet trefase spenning eller strøm er vist i figuren øverst til venstre. Generelt beskrives de tre spenningene av følgende trigonometriske funksjoner:

:<math>v_{L1}(t)=\hat v_{L1} \cos(\omega t )</math>
:<math>v_{L2}(t)=\hat v_{L2} \cos(\omega t-120^\circ)</math>
:<math>v_{L3}(t)=\hat v_{L3} \cos(\omega t+120^\circ)</math>

Der symbolene er de samme som tidligere, og L1, L2 og L3 tilsvarer fasene henholdsvis 1, 2 og 3 i figuren. Funksjonene for strømmen er identiske. Som sagt i forrige avsnitt er det mye enklere å behandle sinusformede vekselstrømmer og spenninger som fasevektorer. Ved transformasjon av de tre ligningene over kan de tre funksjonene over skrives slik:

:<math>\mathbf V_{L1} = \hat v_{L1} \angle 0^\circ</math>
:<math>\mathbf V_{L2} = \hat v_{L2} \angle -120^\circ</math>
:<math>\mathbf V_{L3} = \hat v_{L3} \angle +120^\circ</math>

Dette er illustrert i figuren til venstre med de tre pilene eller vektorene. ''Fasesekvens'' er et viktig begrep i forbindelse med trefasespenning. Positiv sekvens er definert slik at om fasene roterer mot klokken vil faserekkefølgen da være a, b, c, eller L<sub>1</sub>, L<sub>2</sub>, L<sub>3</sub> eller RST. I et elektrisk anlegg er dette viktig å ikke forveksle, for eksempel ved å bytte om på faselederne, ellers vil elektriske motorer rotere motsatt veg av hva de er tiltenkt. 

Enda en viktig forhold i et trefasesystem er at summen av strømmer og spenninger til enhver tid er null:

:<math>\mathbf V_{L1} + \mathbf V_{L2} + \mathbf V_{L3} = 0</math>

====Stjernekobling====
[[File:3 Phase Power Connected to Wye Load.svg|thumb|En trefaset generator koblet i stjerne (venstre) og en last også koblet i stjerne.]]

Figuren øverst til venstre viser en ''stjernekoblet'' (Y-koblet) trefase vekselspenningskilde (generator) som gir ut spenningene '''V'''<sub>1</sub>, '''V'''<sub>2</sub>, '''V'''<sub>3</sub>. Den er tilknyttet en belastning som er en Y-kobling av impedansene Z<sub>y</sub>, og strømmene '''I'''<sub>1</sub>, '''I'''<sub>2</sub>, '''I'''<sub>3</sub> blir overført. Kretsen er symmetrisk hvis spenningene er ''syklisk symmetriske'' og de tre impedansene er like store. Det vil da også gå symmetriske strømmer i kretsen. I selve ''stjernepunktet'' (senteret) i generatoren og lasten er det et symbol som viser tilknytningen til jordpotensiale. Det vil si at de to stjernepunktene har elektrisk tilknytting, selv om det ikke er tegnet inn noen leder. Om en kaller spenningen i disse punktene for '''V'''<sub>N</sub>, vil denne spenningen være null på grunn av betingelsene fastsatt over. Et annet navn for stjernepunkt er ''nøytralpunkt'' (N eller n) og om det tilknyttes en egen leder kalles denne ''nøytralleder'' (''N-leder'')  (nulleder forekommer også).

Om en nå ser på spenningene vil det være to nivåer i kretsen. Spenningen mellom terminalene på generatoren til venstre i tegningen kan defineres som '''V'''<sub>12</sub>, '''V'''<sub>23</sub> og '''V'''<sub>31</sub>. Videre kan spenningene '''V'''<sub>1n</sub>, '''V'''<sub>2n</sub> og '''V'''<sub>3n</sub> mellom hver av terminalene og nøytralpunktet (n) defineres. Forholdet mellom disse spenningene kan uttrykkes slik:

:<math>\begin{align}
\mathbf  V_{12} &= \mathbf V_1 - \mathbf V_2 = (\mathbf V_\text{Ln}\angle 0^\circ) - (\mathbf V_\text{Ln}\angle {-120}^\circ) \\
       &= \sqrt{3}\mathbf V_\text{Ln}\angle 30^\circ, \\

\mathbf V_{23} &= \mathbf V_2 - \mathbf V_3 = (\mathbf V_\text{Ln}\angle {-120}^\circ) - (\mathbf V_\text{Ln}\angle 120^\circ) \\
       &= \sqrt{3}\mathbf V_\text{Ln}\angle {-90}^\circ, \\

\mathbf V_{31} &= \mathbf V_3 - \mathbf V_1 = (\mathbf V_\text{Ln}\angle 120^\circ) - (\mathbf V_\text{Ln}\angle 0^\circ) \\
       &= \sqrt{3}\mathbf V_\text{Ln}\angle 150^\circ. \\
\end{align}</math>

Altså er forholdet mellom spenningen mellom hver av terminalene og nøytralpunktet <math>\scriptstyle \sqrt{3} = 1,73</math>. Videre er faseforskyvningene mellom fasevektorene 30º. I elektroteknikken kalles spenningene '''V'''<sub>12</sub>, '''V'''<sub>23</sub> og '''V'''<sub>31</sub> for ''hovedspenninger'' eller ''linjespenninger'', mens spenningene '''V'''<sub>1n</sub>, '''V'''<sub>2n</sub> og '''V'''<sub>3n</sub> kalles for ''fasespenninger''. Videre kalles strømmene i hver av lederne for ''linjestrømmer''. For et Y-Y-arrangement som vist her vil linjestrømmer og fasestrømmer være like, dette i motsetning til i en trekantkobling. 

====Trekantkobling====
[[File:3 Phase Power Connected to Delta Load.svg|thumb|En trefaset generator koblet i stjerne (venstre) og en last koblet i trekant.]]

Med en ''trekantkoblet'' (''D-koblet'') last som i figuren til venstre er det ikke noen forskjell på spenningen mellom faselederne og spenningen over impedansene (Z<sub>&Delta;</sub>). Derimot er det strømmene som er forskjellige i lederne frem mot lasten og over de tre impedansene. For strømmene '''I'''<sub>12</sub>, '''I'''<sub>23</sub> og '''I'''<sub>32</sub> som går over impedansene følger:  

:<math> \mathbf I_{12} = \mathbf I_\theta \angle (0^\circ) </math>

:<math> \mathbf I_{23} = \mathbf I_\theta \angle (-120^\circ) </math>

:<math> \mathbf I_{32} = \mathbf I_\theta \angle (120^\circ) </math>

Her er størrelsen '''I'''<sub>ϕ</sub> brukt for å markere strøm per fase og '''I'''<sub>12</sub> er benyttet som referanse. For å finne forholdet mellom linjestrømmer og fasestrømmer benyttes [[Kirchhoffs lover|Kirchhoffs strømlov]]:

:<math> \mathbf I_1 = \mathbf I_{12} - I_{31} = \mathbf I_\theta \angle (0^\circ) - \mathbf I_\theta \angle (120^\circ) = \sqrt{3} \mathbf I_\theta \angle (-30^\circ)</math>

:<math> \mathbf I_2 = \mathbf I_{23} - I_{12}= \mathbf I_\theta \angle (120^\circ) - \mathbf I_\theta \angle (0^\circ) = \sqrt{3} \mathbf I_\theta \angle (-150^\circ)</math>

:<math> \mathbf I_3 = \mathbf I_{31} - I_{23}=\mathbf I_\theta \angle (120^\circ) - \mathbf I_\theta \angle (120^\circ) = \sqrt{3} \mathbf I_\theta \angle (90^\circ)</math>

Her er størrelsen som nevnt størrelsen '''I'''<sub>ϕ</sub> brukt for å markere strøm per fase. For øvrig er det vanlig at denne markerer per fase enheter for spenning ('''V'''<sub>ϕ</sub>), effekt (P<sub>ϕ</sub>), reaktiv effekt (Q<sub>ϕ</sub>) og impedans (Z<sub>ϕ</sub>)

Ligningene over viser at størrelsen av linjestrømmene ('''I''' er <math>\scriptstyle \sqrt{3}</math> ganger større en fasestrømmene, samt at faseforskyvningen mellom disse er 30º. Når det gjelder impedansene i den D-koblede lasten kan en ved ''stjerne-trekanttransformasjon'' vise at impedansen i hvert av greinene i stjernen (Z<sub>Δ</sub>) er lik en tredjedel av impedansen i hver side av trekanten (Z<sub>Y</sub>). Altså slik:

:<math>Z_{\Delta}/3 = Z_{\text{Y}}</math>

I en krets med trefase vekselspenning og strømmer som er syklisk symmetrisk er det unødvendig å beskrive de tre fasene hver for seg. Bare i tilfelle av usymmetrisk belastning eller feiltilstander (kortslutninger) som gir usymmetriske strømmer eller spenninger må en ta hensyn til alle tre fasene. For dette benyttes en teknikk kjent som ''symmetriske komponenter''.

Ved analyse av et trefasesystem foretas såkalt per fase-transformasjon, og en behandler kretsen som om den var en enfasekrets. En må imidlertid huske å gjøre forskjell på faseverdier og linjeverdier. Dessuten er det som regel effektivverdier (rms) som er av interesse og ikke toppverdier, ligningene og sammenhengene blir uansett de samme.

====Effekt i stjerne og trekantkoblinger====
[[File:Condensor bank 150kV - 75MVAR.jpg|thumb|En kondensatorbank for fasekompensering i et kraftsystem. Typisk er de fleste laster induktive og for å unngå at reaktiv effekt skal overføres helt fra forbrukere til [[kraftverk]]ene settes det inn slike kondensaktorbanker. Denne er for en spenning på 150 kV og har en ytelse på 75 MVAr.]]

Om en har en Y-koblet last som vist i figuren over vil midlere effekten som utvikles i hver av impedansene (Z<sub>Y</sub>) i greinene være gitt av:

:<math>P_1=P_2=P_3=V_{ \phi} I_{ \phi}\cos \phi </math>

Der faseverdier er innført for alle størrelsene som er en mulighet forklart lenger opp. Vinkelen ϕ er eventuelt faseforskyvning fordi lasten kan bestå av både resistans (R) og reaktans (X). Det er den totale effekten i hver av grenene som er av interesse og denne finnes slik:

:<math>P_T = 3 P_{ \phi} = 3 V_{ \phi}I_{ \phi} \cos  \phi </math>

Det er videre ønskelig å uttrykke effekten som effektivverdier (rms) av linjespenning (V<sub>L</sub>) og strøm (I<sub>L</sub>). Tidligere er det vist at spenningen (fasespenningen) over hver impedans i grenene av en Y-kobling er <math>\scriptstyle \sqrt{3}</math> mindre enn linjespenningen. Dermed kan det utledes at:

:<math>P_T = 3 \left ( \frac{V_L}{\sqrt{3}}\right)I_L = \sqrt{3}V_L I_L \cos \phi</math>

Videre kan det for total reaktiv effekt vises at:

:<math>Q_T = 3 ( \frac{V_L}{\sqrt{3}}) I_L = \sqrt{3}V_L I_L \sin \phi</math>

Tilsynelatende effekt er vektorproduktet av strøm og spenning som kan uttrykkes slik for effekten i hver gren av den Y-koblede lasten:

:<math>S = P + jQ = \mathbf{V_L} \mathbf{I_L}^*</math>

Der symbolet * betyr den [[komplekskonjugerte]] av strømmen. Uttrykket kan også skrives uten bruke av fasevektorer. For total effekt fås:

:<math>S_T = 3 S_{ \phi} = \sqrt{3} V_L I_L</math>

I en D-koblet last er det som nevnt strømmen som er <math>\scriptstyle \sqrt{3}</math> mindre enn linjestrømmen. Dermed kan total midlere effekt skrives slik for en D-koblet last:

:<math>P_T = 3 P_{ \phi} = 3 V_{ \phi}I_{ \phi} \cos \phi =  3 V_L ( \frac{I_L}{\sqrt{3}}) = \sqrt{3}V_L I_L \cos \phi</math>

Dette er altså helt identisk med ligningen for effekt fra en Y-koblet last. Også uttrykkene for reaktiv og tilsynelatende effekt blir de samme.