Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

==Videre utvikling==

Men de grunnleggende idéene til kvantemekanikken kom fra beskrivelsen av enkelte partikler, skyldtes dens videre utvikling en utvidet forståelse av egenskapene til mange identiske partikler. Allerede i 1924 hadde den indiske fysiker [[Satyendra Nath Bose]] vist hvordan [[Plancks strålingslov|Plancks teori]] for [[varmestråling]]en kunne forklares ved å benytte en ny opptelling av kvantetilstandene for et slikt system. [[Einstein]] forsto med en gang at denne nye [[kvantestatistikk]]en også kan benyttes for massive partikler og kalles nå for [[Bose-Einstein-statistikk]]. Den er tett knyttet til [[Kvantemekanikk#Schrödingers bølgemekanikk|bølgemekanikken]] og var det problemet Schrödinger arbeidet med da han utviklet sin bølgeligning. Partikler som beskrives ved denne type [[statistisk mekanikk]] kalles nå for [[boson]]er.<ref name = Pais-1/>

===Spinn-1/2 og fermioner===

For å forklare oppbyggingen av det [[Periodesystemet|periodiske systemet]] og egenskapene til [[karakteristisk røntgenstråling]] innførte [[Wolfgang Pauli]] i 1925 sitt  [[Paulis eksklusjonsprinsipp|eksklusjonsprinsipp]] for elektroner. Det sa at kun ett elektroner kan befinne seg i samme kvantetilstand når man tar hensyn til dets [[spinn]]-1/2 som ble oppdaget senere samme år. 
 
Basert på dette prinsippet beregnet [[Enrico Fermi]] i 1926 de statistiske egenskapene til et stort antall elektroner bundet i et tredimensjonalt, [[harmonisk oscillator]] potensial. Lignende betraktninger av [[Paul Dirac]] som benyttet at bølgefunksjonen for et slikt system må være antisymmetrisk, førte til [[Fermi-Dirac-statistikk]]. Den gjelder for partikler med halvtallig spinn eller [[fermion]]er, mens Bose-Einstein statistikk må anvendes for partikler med heltallig spinn.<ref name = Davydov/>

===Andrekvantisering===

En helt ny måte å beskrive kvantesystemer med mange partikler ble klarlagt av Dirac i 1927 da han viste hvordan det [[Hamiltons virkningsprinsipp#Elektromagnetiske felt|elektromagnetiske feltet]] kan kvantiseres. På denne måten ble [[bølge–partikkel-dualitet]]en mellom et foton som på den ene siden kan omtales som en partikkel og samtidig  beskrives som en bølge, bedre forstått. Denne første feltkvantisering blir i dag vanligvis omtalt som [[kvantisert strålingsteori]] som etter hvert utviklet seg til  dagens [[kvanteelektrodynamikk]].

Da det ikke lenger var posisjonen og impulsen til en partikkel som kvantiseres, men det klassiske [[Elektromagnetisk felt|Maxwell-feltet]] styrt av [[Maxwells ligninger]], ble denne utvidelsen omtalt som en [[Andrekvantisering|andrekvantisert]] teori. Da er ikke lenger antall partikler konstant, men de kan oppstå og forsvinne i forskjellige prosesser. Når et foton for eksempel blir sendt ut fra et atom ved en overgang fra et energinivå til et lavere nivå, så blir fotonet skapt i det øyeblikket. Det eksisterte ikke i atomet på et tidligere tidspunkt. Teorien vil derfor inneholde [[Kvantefeltteori|kreasjon og annihilasjonsoperator]] som adderer eller fjerner partikler fra systemet.<ref name = Pais-1/>

Omtrent på samme tid utviklet [[Pascual Jordan]] og [[Oskar Klein]] en tilsvarende beskrivelse for ikke-relativistiske partikler. Deres bølgeligning vil da være den tidsavhengige Schrödinger-ligningen hvor bølgefunksjonen må betraktes som en [[Felt (fysikk)|felt-funksjon]] for disse identiske bosonene.

Sammen med [[Eugene Wigner]] viste Jordan noen måneder senere hvordan også ikke-relativistiske fermioner kan beskrives på denne måten. Ved utsendelse av lys fra et atom, er det da ikke bare et foton som blir skapt, men et elektron blir fjernet fra en tilstand i atomet og et nytt elektron blir skapt i en ny tilstand med lavere energi.

===Relativistisk kvantemekanikk===

Da Schrödinger utviklet sin kvantemekaniske bølgeligning, ville han at den skulle være i overensstemmelse med Einsteins [[spesielle relativitetsteori]]. Ved å anvende den på hydrogenatomet kom han frem til [[Bohrs atommodell#Diskrete energinivå|Bohrs formel]] for energinivåene, men også med mindre, [[Hydrogenatom#Relativistisk bevegelse|relativistiske korreksjoner]] til disse. De viste seg å ikke stemme med målte verdier. Han forkastet derfor denne relativistiske bølgeligningen som senere har fått navnet [[Klein-Gordon-ligning]]en og publiserte bare den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen.<ref name = Longair/>

Et annet og viktigere problem med den relativistiske bølgeligningen var at den ikke kunne gi en positiv sannsynlighetstetthet. Grunnen var at den i tillegg til de andrederiverte med hensyn på de romlige koordinatene, også inneholdt en andrederivert med hensyn på tiden. Denne observasjon fikk Dirac til å søke etter en relativistisk bølgeligning som var lineær i de førstederiverte med hensyn på alle fire koordinater.  Resultatet ble hans relativistiske [[Dirac-ligning]] som ble publisert i 1928. Den viste seg også å gi [[Hydrogenatom#Dirac-ligningen|relativistiske korreksjoner]] til energinivåene i hydrogenatomet som var i overensstemmelse med observasjonene.<ref name = BD>J.D. Bjorken and S.D. Drell, ''Relativistic Quantum Mechanics'', McGraw-Hill Book Company, New York (1964).</ref>

I tillegg ble det klart at ligningen til Dirac automatisk beskriver partikler med [[spinn]] ''s'' = 1/2 som man allerede visste elektronet måtte ha. Dette spinnet koblet også til et ytre [[magnetfelt]] med en [[Magnetisk moment#Elementærpartikler|gyromagnetisk faktor]] {{nowrap|''g'' {{=}} 2.}} Denne verdien er dobbelt så stor som den klassiske og var tidligere et mysterium.

Men både Klein-Gordon-ligningen og Dirac-ligningen ga opphav til nye problem. Det første ble påvist av [[Oskar Klein]] i 1929 da han beregnet spredning av elektroner mot en tilstrekkelig høy [[Schrödinger-ligning#Potensialstepp|potensialbarriere]]. Han kom da frem til at det ble reflektert flere partikler enn det ble sendt inn, noe som synes å stride mot bevarelse av sannsynlighet i kvantemekanikken. Dette problemet er i ettertid blitt kalt for [[Kleins paradoks]].<ref name = BD/>

Det andre problemet var at begge disse relativistiske bølgeligningene forutsa frie partikler som kunne ha negative energier. Slike løsninger kan ikke aksepteres i klassisk fysikk. Dirac argumenterte med at alle disse uønskete tilstandene var fylt opp i en negativ bakgrunn eller «sjø» i overensstemmelse med Paulis eksklusjonsprinsipp for elektroner. En eksitasjon av et slikt elektron med negativ energi til en tilstand med positiv energi, ville skape et «hull i sjøen» som kunne observeres som en partikkel med positiv ladning. Han trodde først at det kunne være et [[proton]], men [[Robert Oppenheimer]] påpekte i 1930 at da ville hydrogenatomet bli ustabilt ved at elektron og proton kunne annihihilere hverandre. Året etter konkluderte Dirac med at løsningene med negativ energi må beskrive elektronets  [[antipartikkel]] som må ha samme masse og motsatt ladning. Vel ett år senere ble [[positron]]et oppdaget i [[kosmisk stråling]].<ref name = Pais-1/>

===Kvantefeltteori===

Problemene rundt Kleins paradoks og partikler med negativ energi skyldes at både Klein-Gordon-ligningen og Dirac-ligningen var blitt benyttet som om de skulle gi en relativistisk beskrivelse av kun én partikkel.  Tilstedeværelse av antipartikler kan generelt ikke unngås. Ligningene er ikke bølgeligninger på like fot med den ikke-relativistiske Schrödinger-ligningen, men dermot  bevegelsesligninger for relativistiske felt. Mens Klein-Gordon-ligningen beskriver et '''bosonfelt''' for partikler  med spinn {{nowrap|''s'' {{=}} 0}}, gjelder Dirac-ligningen for '''fermionfelt''' med spinn {{nowrap|''s'' {{=}} 1/2.}}

Den første kvantisering av Maxwell-feltet for fotoner ble gjort av Dirac i 1927. Året etterpå viste Jordan og Pauli hvordan dette var konsistent med spesiell relativitetsteori. Den første, systematiske kvantisering av felt for massive partikler ble lansert av Heisenberg og Pauli i 1929. Dermed var en ikke-kovariant [[kvanteelektrodynamikk]] etablert hvor både partikler og det elektromagnetiske feltet var kvantiserte. Det var nå mulig å beregne [[spredningstverrsnitt]]et for relativistisk [[Compton-spredning]]
som kan uttrykkes ved [[Klein-Nishinas formel]].<ref name = Schweber>S.S. Schweber, ''QED and the Men Who Made It'', Princeton University Press, New Jersey (1994). ISBN 0-691-03327-7.</ref>

Relativistisk kvanteelektrodynamikk omhandlet de første årene bare fotoner og elektroner. I 1932 publiserte [[Enrico Fermi]] en  mer pedagogisk fremstilling av teorien som fikk stor betydning.<ref name = Fermi-1>E. Fermi, ''Quantum Theory of Radiation'', Reviews of Modern Physics '''4''' (1), 87–132 (1932). [http://fafnir.phyast.pitt.edu/py3765/FermiQED.pdf PDF]</ref>  Samme år ble [[nøytron]]et påvist som en fri partikkel. Tidligere hadde man indirekte betraktet det i atomkjernen som en bunden tilstand av et proton og et elektron. Ved [[betahenfall]] ble elektronet sendt ut sammen med et [[nøytrino]], og nøytronet gikk over til å bli et proton. Hvis nå elektronet likevel ikke fantes bundet i atomkjernen, ble spørsmålet hvor det kom fra i denne prosessen. Svaret kom med [[Fermis vekselvirkning]] som inneholder [[kvantefeltteori|kvantefeltoperatorer]] for elektronet og nøytrinoet. Begge må da tenkes skapt fra intet. Denne forklaringen som stemte i detalj med nøyaktige observasjoner, kom Fermi med allerede i 1933 og styrket troen på at relativistisk [[kvantefeltteori]] ville gi en korrekt beskrivelse av egenskapene til også andre [[elementærpartikkel|elementærpartikler]].

I de følgende årene ble det konstatert at kvantefeltteoriene ga divergent resultat for de fleste prosesser når man foretok beregninger til høyere orden i [[Perturbasjonsteori (kvantemekanikk)|perturbasjonsteori]]. Først etter [[andre verdenskrig]] ble disse nye problemene forstått og løst med en fremgangsmåte som nå omtales som [[renormalisering]]. Siden er det blitt utviklet kvantefeltteorier for alle elementærpartiklene. Det har gjort det mulig å beregne deres egenskaper og vekselvirkninger i full overennsstemmelse med alle observasjoner. Disse teoriene utgjør det som i dag omtales som [[Standardmodellen]].<ref name = Schweber/>

===Feynmans veiintegral===

Etter [[andre verdenskrig]] utviklet [[Richard Feynman]] en ny formulering av kvantemekanikken som på noen måter var mer generell enn den som tidligere var etablert av [[Heisenberg]] og [[Erwin Schrödinger|Schrödinger]]. Den tok sitt utgangspunkt i den klassiske  [[Lagrange-mekanikk|Lagrange-funksjonen]] istedenfor [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjonen]] som den kvantemekaniske [[Hamilton-operator]]en bygger på. Denne gir energien til systemet og peker dermed ut en bestemt retning i det firedimensjonale [[Spesiell relativitet#Minkowski-rom|Minkowski-rommet]]. Av den grunn kan dette gi vanskeligheter med å bevare overensstemmelse med [[Einstein]]s [[spesielle relativitetsteori]]. Derimot er Lagrange-funksjonen en [[skalar]] størrelse slik at disse problemene med relativistisk invarians ikke er tilstede i Feynmans formulering.

Basert på Lagrange-funksjonen for et system kan dets [[Hamiltons virkningsprinsipp|klassiske virkning]] beregnes. Feynman viste at denne kunne benyttes til å gi hver mulig tidsutvikling som et system kunne ha, en kvantemekanisk sannsynlighetsamplitude. Den totale amplituden for en overgang fra en tilstand til en annen, ville da være gitt ved summen av alle enkeltamplitudene for hver slik vei. I den kontinuerlige grensen går denne summen over i et [[veiintegral]]. Dette kan formuleres både for ikke-relativistiske partikler og relativistiske kvantefeltteorier.<ref name = RPF-Hibbs> R.P. Feynman and A.R. Hibbs, ''Quantum Mechanics and Path Integrals'', McGraw-Hill Book Company, New York (1965). </ref>

De første årene ble Feynmans veiintegral lite brukt i konkrete beregninger. Men i det arbeidet som var forbundet med å etablere Standardmodellen for elementærpartiklene, viste det seg snart at denne alternative formuleringen hadde store fordeler. I dag er det denne som dominerer alle teoretisk betraktninger på dette feltet.<ref name = PS> M.E. Peskin and D.V. Schroeder, ''An Introduction to Quantum Field Theory'', Addison-Wesley, Reading MA (1995). ISBN 0-201-50397-2.</ref>