Redigerer Varmeledning (avsnitt)

==Varmeledning i tre dimensjoner==

Når et legeme taper varmeenergi ved ledning, vil dets temperatur også vanligvis forandres seg. I alminnelighet er derfor temperaturen i legemet gitt som en funksjon ''T = T('''x''',t)'' som varierer både med posisjonen '''''x''''' og tiden ''t''. Varmemengden ''&Delta;Q'' som trenges til å gi en liten temperaturforandring ''&Delta;T'' er gitt som

: <math> \Delta Q(t) = \rho C\!\int\!d^3x \Delta T(\boldsymbol{x}, t) </math>

hvor ''&rho;'' er legemets massetetthet og ''C'' dets [[spesifikk varmekapasitet]]. Da temperaturen i legemet varierer med posisjonen, vil det derfor hele tiden og overalt finnes en varmefluksvektor '''J''' som er gitt ved Fouriers ligning

: <math> \mathbf{J} = - \kappa \boldsymbol{\nabla} T </math>

i tre dimensjoner. Man ser at den reduseres til den endimensjonale versjonen i det spesielle tilfellet at temperaturgradienten finnes bare i en retning.

Hvis man nå betrakter en lukket flate ''S'' i legemet, vil varmen innenfor denne flaten forandres ved at varme kommer inn gjennom flaten. Derfor må

: <math> \frac{dQ}{dt} = \rho C\!\int\!d^3x {\partial T\over \partial t}  = - \oint_S d\mathbf{S}\cdot \mathbf{J} </math>

hvor ''d'''''S''' er et lite flateelement med retning normalt på flaten ''S''. Men det siste integralet kan skrives om ved bruk av [[divergensteoremet]] til Gauss. Settes så inn Fouriers uttrykk for fluksen '''J''', finner man den [[partielle differensialligninger|partielle differensialligningen]]

: <math>  \rho C{\partial T\over \partial t} = \kappa \nabla^2T  </math>

Denne '''varmeledningsligningen'''  gjelder i hvert punkt i legemet og gjør det mulig i alminnelighet å beregne hvordan temperaturen varierer i tid og rom.  

Ligningen har nøyaktig samme form som ligningen som beskriver [[diffusjon]]. Det er ingen tilfeldighet, men skyldes at på mikroskopisk nivå er fysikken bak begge transportfenomenene de samme. Ved bruk av [[kinetisk teori]] kan denne sammenhengen etableres kvantitativt.