Redigerer Tyngdeakselerasjon (avsnitt)

==Jordens form==

Begge bidragene til tyngedeakselerasjon på Jorden kan kombineres og skrives som {{nowrap|'''g''' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;}} hvor {{nowrap|&Phi; {{=}} &Phi;(''r,&lambda;'')&thinsp;}} er det totale gravitasjonspotensialet som virker. Jordens overflate vil være en [[ekvipotensialflate]] gitt ved ligningen &Phi; = konstant. Den kan løses og gi {{nowrap|''r'' {{=}} ''r''(''&lambda;'')}} som beskriver formen til overflaten. Tyngdeakselerasjonen '''g''' vil da stå overalt vinkelrett på denne.

De to komponentene til sentrifugalakselerasjonen '''g'''<sub>''s''</sub> følger fra potensialet

: <math> \Phi_s = - {1\over 2}\omega^2r^2\cos^2\lambda </math>

og avtar når avstanden ''r'' øker. Det tilsvarer at den virker utover. Mer komplisert er det å finne det [[gravitasjonspotensial|newtonske gravitasjonspotensialet]] som ikke lenger kan antas å ha kulesymmetri. Men da avviket skyldes rotasjonen, vil det ha aksial symmetri.  Potensialet kan beregnes ved en [[multipolutvikling]] hvor de første leddene vil gi de nødvendige korreksjonene til Newtons gravitasjonslov. Når man videre antar at massefordelingen er symmetrisk om ekvatorialplanet, vil ikke dipolleddet bidra. Den viktigste korreksjonen kommer da fra [[multipolutvikling|kvadrupolleddet]]. Denne delen av gravitasjonspotensialet blir dermed

: <math> \Phi_N = - {GM\over r} + {GMa^2J_2\over 2r^3}(3\sin^2\lambda - 1) </math> 

hvor lengden ''a'' er definert som Jordens radius ved [[ekvator]] og ''J''<sub>2</sub> er en dimensjonsløs parameter som beskriver avviket fra en eksakt sfærisk symmetrisk massefordeling. Den kan uttrykkes ved [[treghetsmoment]]ene til Jorden som

: <math>  J_2 Ma^2 = C - A </math>

hvor  ''C'' er treghetsmomentet rundt rotasjonsaksen og ''A'' om en akse normalt på denne gjennom sentrum.

[[Fil:Afplatting.svg|thumb|300px|En flattrykt [[rotasjonsellipsoide]] med akser ''a'' og ''b''.]]
Formen til Jorden er nå bestemt ut fra kravet at det totale potensialet &Phi;(''r,&lambda;'') = &Phi;<sub>''N''</sub> + &Phi;<sub>''s''</sub> skal være konstant på overflaten. Mens ''a'' er radius ved ekvator, kan radius til en av polene kalles ''c''. Da må {{nowrap|&Phi;(''r {{=}} a'', ''&lambda;'' {{=}} 0<sup>&deg;</sup>)}} = {{nowrap|&Phi;(''r {{=}} c'', ''&lambda;'' {{=}} 90<sup>&deg;</sup>)}}. Det relative forholdet mellom disse to lengdene uttrykkes ved [[flattrykning]]en

: <math> f = 1 - {c\over a} </math>

som for Jorden er observert å være ''f'' = 3.35&times;10<sup>-3</sup> = 1/298. Formen til overflaten er en flattrykt [[rotasjonsellipsoide]] gitt ved ligningen

: <math> r = a (1 - f\sin^2\lambda) </math>

Denne ligger til grunn for «referanseellipsoiden» som brukes i [[World Geodetic System]].<ref name = TS/>

Kravet om konstant potensial på overflaten gir nå til laveste orden at

: <math> f = {3\over 2} J_2 + {1\over 2}m  </math> 

hvor forholdet {{nowrap|''m'' {{=}} ''&omega;''<sup>2</sup>''a''<sup>&thinsp;3</sup>/''GM''}} = 3.46&times;10<sup>-3</sup> . Da verdien til flattrykningen ''f'' er kjent, kan herav asymmetrien til massefordelingen ''J''<sub>2</sub> finnes.<ref name = TS/>

===Nøyaktigere tyngdeakselerasjon===

Tyngdeakselerasjonen som er gitt ved [[gradient]]en {{nowrap|'''g''' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&Phi;}}, vil ha to komponenter hvorav den radielle - &part;&Phi;/&part;''r'' er dominerende. Den har en størrelse gitt ved

: <math> g = {GM\over r^2} - {3GMa^2J_2\over 2r^3}(3\sin^2\lambda - 1) - \omega^2r^2\cos^2\lambda </math>

Ved å benytte her ligningen {{nowrap|''r'' {{=}} ''r''(''&lambda;'')}} for rotasjonsellipsoiden, finner man formelen for tyngdeakselerasjonen. Til laveste orden i de små størrelsene ''f'', ''m'' og ''J''<sub>2</sub>  kan den skrives som

: <math> g(\lambda) = {GM\over a^2}\left(1 + {3\over 2}J_2 - m \right) \left[1 + \Big( 2m - {3\over 2}J_2\Big) \sin^2\lambda\right] </math>

Setter man inn de numeriske verdiene, gir den resultatet

: <math> g(\lambda) = (9.780 + 0.052\sin^2\!\lambda)\;\text{m}/\text{s}^2 </math>

Mens verdien ved ekvator er blitt redusert til 9.780&nbsp;m/s<sup>2</sup>, er den øket til 9.832&nbsp;m/s<sup>2</sup> ved polene. Det kan forstås ved at punkt langs ekvator er kommet litt lenger bort fra Jordens sentrum, mens polene er kommet tilsvarende nærmere. Enda nøyaktigere formler kan utledes ved å ta med høyere ordens ledd i denne beregningen.

===Konstant massetetthet===

Tyngdeakselerasjonen på hvert sted er avhengig av rotasjonshastigheten ''&omega;'' og massefordelingen til Jorden. Disse to størrelsene er generelt ikke uavhengig av hverandre. I det enkleste tilfellet kan man tenke seg at den har en konstant massetetthet ''&rho;''.  Med en bestemt form gitt ved ellipseaksene ''a'' og ''c'' = ''a''&thinsp;(1 - ''f''&thinsp;), er da dens masse gitt som

: <math> M = {4\over 3}\pi\rho a^2c </math>,

mens de to treghetsmomentene er

: <math> A = {4\over 15}\pi \rho a^2c(a^2 + c^2) \;   \;   \;  \text{og} \;   \;   \; C = {8\over 15}\pi \rho a^4c . </math>

Denne massefordelingen gir dermed asymmetriparameteren 

: <math> J_2 = {C - A\over Ma^2} = {1\over 5}\Big(1 - {c^2\over a^2}\Big) </math>

Siden flattrykningen ''f'' << 1, har man derfor at  ''J''<sub>2</sub> = 2''f''&thinsp;/5 som igjen betyr at  rotasjonsparameteren ''m'' =  4''f''&thinsp;/5. Dette stemmer ikke helt med de observerte verdiene, og man må konkludere at massetettheten i Jorden er mer komplisert.