Redigerer Termodynamikkens første hovedsetning (avsnitt)

==Differensiell formulering==

Første og andre hovedsetning ble først klart formulert av [[Rudolf Clausius]]. Han viste også hvordan man kan beskrive termodynamiske prosesser med [[matematisk analyse]] som omfatter differensial- og integralregning. Det er mulig i grensen hvor man antar at forandringer som &Delta;''U&thinsp;'' og &Delta;''V&thinsp;'' er så små at de kan betraktes som [[differensial (matematikk)|differrensial]] ''dU'' og ''dV''. De har den egenskapen at for eksempel volumintegralet

: <math> \int_1^2\! dV = V_2 - V_1 </math>

er gitt ved differensen mellom volumet i sluttilstanden og begynnelsestilstanden. Det gjelder også for integralet av energidifferensialet ''dU&thinsp;'' da den indre energien er en [[termodynamisk potensial|tilstandsfunksjon]]. Men det er ikke hverken det utførte arbeidet ''W&thinsp;'' eller den tilførte varmen ''Q''. De avhenger ikke bare av begynnelse- og sluttilstand, men også av selve prosessen som medfører forandringen. Infinitesemale forandringer av disse størrelsene skrives derfor som &delta;''W&thinsp;'' og &delta;''Q&thinsp;'' hvor nå {{nowrap|&delta;''W'' {{=}} ''PdV&thinsp;''}} hvis arbeidet er mekanisk. Denne forskjellen mellom differensialene tilsvarer forskjellen mellom ekte og uekte [[differensialform]]er.<ref> T. Lindstrøm, ''Kalkulus'', Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-15-02710-4.</ref>

Med denne forståelsen kan første hovedsetning derfor skrives på differensiell form som

: <math> dU = \delta Q - \delta W </math>

Når varmetilførselen &delta;''Q&thinsp;'' foregår på en reversibel måte slik at systemet forblir i [[termisk likevekt]], vil den medføre en forandring ''dS&thinsp;'' av systemets [[entropi]] ''S''. Den er et eksakt differensial da entropi også er en tilstandsfunksjon. Fra [[Entropi#Clausius og termodynamikk|Clausius' likhet]] følger da at {{nowrap|&delta;''Q'' {{=}} ''TdS&thinsp;''}} når ''T&thinsp;'' er temperaturen til systemet og omgivelsene. Ved å ta med både mekanisk og kjemisk arbeid, kan nå loven skrives på formen

: <math> dU = TdS - PdV + \mu dN </math>

som inneholder bare eksakte differensial. Denne fundamentale sammenhengen blir vanligvis omtalt som «den termodynamiske identitet».<ref name = Rock/>

===Termodynamisk deriverte===

Hvis partikkeltallet ''N&thinsp;'' i systemet er konstant, blir første hovedsetning på differensiell form

: <math> dU = TdS - PdV  </math>

Den viser at entropi ''S&thinsp;'' og volum ''V&thinsp;'' er ''naturlige'' variable for den indre energien ''U''. [[Josiah Willard Gibbs|Willard Gibbs]] omtalte den som «termodynamikkens fundamente ligning» og gjorde mye ut av den. Da denne energien er en [[termodynamisk potensial|tilstandsfunksjon]], vil det finnes en matematisk sammenheng ''U'' = ''U''(''S,V''). Ved [[derivasjon|partiell derivasjon]] er da

: <math> dU = \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V dS + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S dV </math>

Når disse to differensialene sammenlignes, finner man for de deriverte

: <math> \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_V = T, \;\;\;  \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_S = - P </math>

Da to partielle derivasjoner etter hverandre kan byttes om slik at <math> \partial^2 U/\partial S\partial V = \partial^2 U/\partial V\partial S, </math> resulterer det i den termodynamiske betingelsen

: <math>  \left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_S = -  \left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_V </math>
 
Dette er et eksempel på en [[Maxwell-relasjon]]. Den og mange lignende har stor betydning for praktisk utnyttelse av de termodynamiske lovene.<ref name = Castellan/>