Redigerer Spinn (avsnitt)

===Spinn-1/2===

Ved [[Stigeoperator#Addisjon av dreieimpulser|addisjon]] av mange spinn ''s'' = 1/2, kan tilstander med vilkårlig høye spinn beregnes. Derfor har beskrivelsen av spinn-1/2 en spesiell viktig plass både i [[elementærpartikkel]]fysikken og i [[teoretisk fysikk]] mer generelt. Man har da  å gjøre med bare to egenvektorer  som kan skrives på flere forskjellige måter,

: <math> |{\textstyle\frac 1 2}, + {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |+ {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |+ \rangle = | \uparrow \rangle  </math> 
: <math> |{\textstyle\frac 1 2}, - {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |- {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |- \rangle = | \downarrow \rangle </math>

som er ortogonale <math> \langle +|-\rangle = 0 </math> og hvor

: <math> \hat{S}_z |\pm \rangle = \pm {\hbar\over 2} |\pm \rangle </math>

Ved å kombinere to slike egentilstander kan man finne egenvektorer 

: <math> |\psi \rangle = \psi_+ |\uparrow\rangle +\, \psi_-  |\downarrow \rangle </math>  

for spinnet i vilkårlig andre retninger '''n''' tilsvarende operatoren <math>\hat\mathbf{S}\cdot\mathbf{n}. </math>  Den har to komponenter <math> \psi_+ = \langle +|\psi \rangle </math> som kan fremstilles som en tokomponent [[Kvantisert dreieimpuls#Spinorer|spinor]]

: <math> \psi = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} = \psi_+ \! \uparrow + \; \psi_- \! \downarrow </math>

hvor de to basisspinorene er

: <math>  \uparrow \; = \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}, \quad  \downarrow \; = \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} .</math>

Operatoren <math> \hat{S}_z </math> kan da representeres ved den diagonale [[matrise]]n

: <math> S_z = {\hbar\over 2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} </math>

På tilsvarende vis kan <math> \hat{S}_+ </math> fremstilles som en matrise fra dens definerende egenskaper  <math> \hat{S}_+ |\downarrow\rangle = \hbar\, |\uparrow \rangle </math>  og  <math> \hat{S}_+ |\uparrow\rangle = 0. </math> Det kan man gjøre på tilsvarende måte for <math> \hat{S}_- </math> og man får 

: <math> S_+ =  \hbar\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \quad S_- =  \hbar\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} . </math>

Herav kan man finne matrisene <math> S_x</math> og <math> S_y. </math>  Resultatet er at alle spinnmatrisene kan skrives som de tre [[Pauli-matrise]]ne (''&sigma;<sub>x</sub>'', ''&sigma;<sub>y</sub>'', ''&sigma;<sub>z</sub>'') multiplisert med ''ħ''/2.