Redigerer Sirkel (avsnitt)

== Ligning for en sirkel  ==
[[Image:Circle center a b radius r.svg|thumb|right|Sirkel med radius ''R''&nbsp;=&nbsp;1, sentrum (''a'', ''b'') =&nbsp;(1.2,&nbsp;−0.5)]]
Det eksisterer en lang rekke former for ligningen til en sirkel.

=== Kartesiske koordinater ===
I et [[kartesisk koordinatsystem]] (''x'',''y'') er ligningen for en sirkel med sentrum i (''a'',''b'') og radius ''R'' gitt ved

:<math>\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=R^2.</math>

Ligningen følger fra [[Pythagoras’ læresetning]], som vist på figuren til høyre:  Radien er [[hypotenus]]en i en rettvinklet trekant der [[katet]]ene har lengde henholdsvis {{nowrap|''x'' − ''a''}} og {{nowrap|''y'' − ''b''}}.

Ved å definere to vektorer i planet ''r'' = (''x'',''y'') og ''r''<sub>0</sub> = (''a'',''b''), så kan ligningen for sirkelen skrives på formen

:<math>d(r,r_0) = R \, </math>

der d( , ) er den [[Euklidsk geometri|euklidske]] [[metrikk]]en.

Med sentrum i [[origo]] (0,0) blir formelen for sirkelen

:<math>x^2 + y^2 = R^2. \,</math>

===Sirkel gjennom gitte punkt===

For å [[konstruksjon (geometri)|konstruere]] en sirkel, behøver man i alminnelighet tre gitte punkter. Et av punktene kan velges som sentrum, mens avstanden mellom de to andre kan tas som radius.

Alternativt kan man konstruere en sirkel som går gjennom disse tre punktene såfremt de ikke ligger på en linje. Forbindes punktene med to [[linjestykke]]r, vil disse da være [[korde]]r i sirkelen. Konstruerer man så midtnormalen til hvert av linjestykkene, vil disse skjære hverandre i et punkt som er sirkelens sentrum.

Likedan kan en sirkel [[konstruksjon (geometri)|konstrueres]] ut fra kun to gitte punkt. For eksempel kan det ene punktet velges som sentrum i sirkelen, mens [[linjestykke]]t som forbinder dem, tas som radius. Men hvis sirkelen skal gå gjennom begge disse to punktene {{nowrap|''A {{=}} (x<sub>A</sub>,y<sub>A</sub>)''}} og {{nowrap|''B {{=}} (x<sub>B</sub>,y<sub>B</sub>)''}} og samtidig være entydig bestemt, må de være endepunktene til en [[diameter]] i sirkelen. For et vilkårlig punkt {{nowrap|''P {{=}} (x,y)''}} på den, vil da linjestykkene ''AP'' og ''BP'' stå [[vinkelrett]] på hverandre. Dette følger fra [[Tales’ teorem|Tales’ halvsirkelteorem]]. Produktet av [[stigningstall]]ene for de to [[linje]]stykkene må da være ''-1'', det vil si

: <math> {y - y_A\over x - x_A}\cdot {y - y_B\over x - x_B} = -1 </math>

Skrevet ut, gir dette ligningen {{nowrap|''(x - x<sub>A</sub>)(x - x<sub>B</sub>) + (y - y<sub>A</sub>)(y - y<sub>B</sub>) {{=}} 0''}} for sirkelen med linjestykket ''AB'' som diameter. Ved å omforme den til standardformen {{nowrap|''(x - a)<sup>2</sup> + (y - b)<sup>2</sup> {{=}} r<sup>&thinsp;2</sup>''}}, kan koordinatene for sirkelens sentrum ''C = (a,b)'' og dens radius ''r&thinsp;'' finnes uttrykt ved koordinatene til punktene ''A'' og ''B''.

=== Polarkoordinater ===
I [[polarkoordinatsystem|polarkoordinater]] får ligningen for en sirkel med sentrum i origo en spesielt enkel form:

:<math>r = R \, </math>

For et mer generelt sentrum (''r''<sub>0</sub>,θ<sub>0</sub>) er formelen mer komplisert:

:<math>r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \theta_0) + r_0^2 = R^2\,</math>

=== Parameterformer ===

[[Fil:Weierstrass substitution.png|thumb|right|300px|Man kan benytte den halve vinkel som parameter {{nowrap|''t'' {{=}} tan(''&phi;/2''&thinsp;)}} i beskrivelsen av sirkelen.]]
For en sirkel med sentrum i [[origo]] kan man bruk vinkelen ''&phi;'' som radius danner med ''x''-aksen, som en parameter for hvert punkt (''x,y'') som ligger på sirkelen. Setter man radius ''r = 1'' og bruker de vanlige [[trigonometriske funksjoner|trigonometriske funksjonene]], gir derfor {{nowrap|''x'' {{=}} cos''&phi;''}} og {{nowrap|''y'' {{=}} sin''&phi;''}} en [[parameterfremstilling]] av sirkelen. Parameteren ''&phi;'' varierer fra 0 til ''2&pi;&thinsp;'' når man går rundt sirkelen.

En annen parametrisering finner man ved å trekke en rett linje fra punktet (-1,0) til (''x,y'') på sirkelen. Den skjærer ''y''-aksen i punktet (0,''t''&thinsp;) hvor ''t&thinsp;'' kan betraktes som en ny parameter. Fra setningen om [[periferivinkel|periferivinkler]] vet vi at denne linjen danner vinkelen ''&phi;/2''&thinsp; med ''x''-aksen. Ved å bruke [[Pythagoras' læresetning]] ser man fra figuren at

: <math> \sin{\phi\over 2} = {t\over\sqrt{1 + t^2}}, \;\;\; \cos{\phi\over 2} = {1\over\sqrt{1 + t^2}},</math>

Benytter man nå de [[trigonometriske identiteter|trigonometriske relasjonene]] for sinus og cosinus uttrykt ved den halve vinkel, er

:<math>\begin{alignat}{2}  \sin\phi &= 2\sin{\phi\over 2}\cos{\phi\over 2} = {2t\over 1 + t^2}\\
               \cos\phi  &= \cos^2{\!\phi\over 2} - \sin^2{\!\phi\over 2} = {1 - t^2\over 1 + t^2} \\ 
\end{alignat}</math>

Dette gir en alternativ parametrisering av sirkelen uten bruk av trigonometriske funksjoner,

:<math>\begin{alignat}{2}
x &= a + R \frac{1-t^2}{1+t^2} \\
y &= b + R \frac{2t}{1+t^2}
\end{alignat}</math>

når man plasserer den med sentrum i (''a,b'') og med radius ''r = R''.

=== Naturlige ligninger ===
Ifølge [[Kurve#Fundamentalteoremet for romkurver|fundamentalteoremet for romkurver]] kan en kurve defineres ved hjelp av begrepene krumning κ og torsjon τ, og definisjonen er entydig bortsett fra posisjon og orientering i rommet.  De såkalte naturlige ligningene for en sirkel i rommet er

:<math>\begin{alignat}{2}
\kappa &= \frac{1}{R} \\
\tau &= 0 \\
\end{alignat}</math>

Sirkelen er altså den eneste romkurven med konstant positiv krumning og null torsjon.

=== Sirkler i det komplekse plan ===
I det [[komplekst tall|komplekse planet]] vil en sirkel med sentrum i ''z'' = ''c'' og radius ''R'' ha ligningen

:<math>|z-c\, |^2 = R^2\,</math>.

På parameterform kan denne ligningen skrives som

:<math>z = Re^{it}+ c \, </math>.