Redigerer Runge-Lenz-vektor (avsnitt)

===Hamiltons hodograf===

Hamilton studerte hvordan bevegelsen til en partikkel kan uttrykkes ved hastigheten {{nowrap|'''v''' {{=}} ''d''&thinsp;'''r'''/''dt''&thinsp;}} istedenfor ved posisjonen {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''(''t''&thinsp;)}}. En grafisk fremstilling av hvordan vektoren '''v''' = '''v'''(''t''&thinsp;) varierer med tiden, kalles da bevegelsens ''hodograf''.<ref name = Orear> J. Orear, ''Fundamental Physics'', John Wiley & Sons, New York (1965). ISBN  0-4716-5672-0.</ref>

Ved å kvadrere vektoren <math>  mk\mathbf{r}/r = \mathbf{p} \times \mathbf{L}  - \mathbf{A},  </math> finner man sammenhengen

: <math> (mk)^2 = A^2 + p^2 L^{2} + 2 \mathbf{L}\cdot(\mathbf{p}  \times \mathbf{A}) </math>

Den kan forenkles ved å la dreieimpulsen '''L''' være langs ''z''-aksen slik at bevegelsen skjer i ''xy''-planet. Hvis man så velger Runge-Lenz-vektoren '''A''' langs ''x''-aksen, finner man

: <math> p_{x}^{2} + \left(p_{y} - A/L \right)^{2} = (mk/L)^{2} </math>

Da impulsvektorene '''p''' er proporsjonal med de forskjellige hastighetene '''v''' langs banen, ligger disse på en sirkel med radius ''mk''/''L'' og senter på ''y''-aksen i punktet (0,''A''/''L''). Hodografen  for en Kepler-bevegelse er derfor alltid en sirkel uavhengig av eksentrisiteten til banen. I det spesielle tilfellet at selve partikkelbevegelsen er sirkulær, er ''A'' = 0 og hodografen har sitt senter også i origo.<ref> E. Butikov, ''The velocity hodograph for an arbitrary Keplerian Motion'', European Journal of Physics '''21''', 1-10 (2000).</ref>

Denne sirkulære hodografen spiller også en sentral rolle i [[Richard Feynman]]s «fortapte forelesning» ved [[Caltech]] i 1964.<ref>D.L. Goodstein and J.R. Goodstein, ''Feynman's Lost Lecture: The Motion of Planets Around the Sun'', W. W. Norton & Company, New York (1996). ISBN 0-393-03918-8. </ref> Han ville der forklare ved rent geometriske argument hvordan [[Isaac Newton|Newton]] kunne vise fra sin gravitasjonslov at planetene fulgte ellipseformede baner.<ref> J.F. Carinena, M.F. Ranada and M. Santander, [https://mathphys.uva.es/files/2016/09/CarinnenaRannadaSantander_EurJPhys2016.pdf ''A new look at the Feynman ‘hodograph’ approach to the Kepler first law''], European Journal of Physics '''37''',  025004 (2016).</ref>