Redigerer Potensiell energi (avsnitt)

==Konservative krefter==

Mer generelt vil en partikkel som tilhører et fysisk system, kunne bevege seg i alle tre retninger. Dens posisjon er da gitt ved en [[vektor (matematikk)|posisjonsvektor]]  '''r''' som kan angis ved dens komponenter i et [[kartesisk koordinatsystem]]. Den er påvirket ved en kraft '''F''' fra resten av systemet slik at den må holdes på plass med en motkraft {{nowrap|'''F'''' {{=}} - '''F'''}} for ikke å bevege seg.

Hvis man nå øker kraften '''F'&thinsp;''' litt, kan man flytte partikkelen et lite stykke &delta;'''r''' uten at resten av systemet forandrer seg. Man utfører da [[arbeid (fysikk)|arbeidet]] ''&delta;W'' = '''F''''&thinsp;&sdot;''&delta;''&thinsp;'''r''' som per definisjon vil  være lik forandringen av den potensielle energien til systemet. Dette skjer uendelig langsomt i grensen '''F'''' &rarr; - '''F'''. Ved en endelig flytting av partikkelen fra et punkt '''r'''<sub>1</sub>  til '''r'''<sub>2</sub>  forandres dermed den potensielle energien med

: <math> \Delta U(\mathbf{r}_1\rightarrow \mathbf{r}_2) = - \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} </math>

hvor det er angitt at denne forandringen i alminnelighet avhenger av veien  '''r'''<sub>1</sub> &rarr; '''r'''<sub>2</sub> som partikkelen blir flyttet langs.

[[Fil:Wegunabhaengigkeit im Kraftfeld.svg|thumb|240px|For en konservativ kraft er forflytnings-arbeidet fra ''P''<sub>1</sub> til ''P''<sub>2</sub> uavhengig av veien som det utføres langs.]]
For en '''konservative krefter''' i et fysisk system er den potensielle energien uavhengig av veien som er valgt til å bringe det i en bestemt posisjon.<ref name = YF/> Da kan den skrives som

: <math> \Delta U(\mathbf{r}_1\rightarrow \mathbf{r}_2) = U(\mathbf{r}_2) - U(\mathbf{r}_1)  </math>

hvor ''U''('''r''') sies å være den potensielle energien når partikkelen er i posisjon '''r'''. For at dette skal være matematisk konsistent, må den konservative kraften kunne uttrykkes ved [[gradient]]en til denne energien, '''F''' = - '''&nabla;'''''U''. Bare da vil

: <math>\begin{align}  - \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} &= \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}  \boldsymbol{\nabla}U\cdot d\mathbf{r} = \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\left({\partial U\over\partial x}dx + {\partial U\over\partial y}dy +{\partial U\over\partial z}dz \right) \\
     &= \int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2} dU  =   U(\mathbf{r}_2) - U(\mathbf{r}_1)\end{align}</math>

Alternativt kan man definere en konservativ kraft ved å bringe systemet rundt en lukket kurve uten at det skal koste noe energi.<ref name="Griffiths">D.J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805325-X.</ref> Det kan skje ved å ta det fra   '''r'''<sub>1</sub> &rarr; '''r'''<sub>2</sub> en vei og så fra  '''r'''<sub>1</sub> &rarr; '''r'''<sub>2</sub> langs en annen vei tilbake til utgangspunktet. Da må det lukkete linjeintegralet

: <math> \oint \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 0 </math>

Fra [[Stokes' teorem]] vet man da at dette er alltid oppfylt når

: <math>  \boldsymbol{\nabla} \times  \mathbf{F} = 0 </math>

slik at [[curl]] til den konservative kraften må være null. Det kan igjen bare skje ved at kraften er [[gradient]]en av en skalar funksjon. På den måten kommer man igjen frem til at

: <math>  \mathbf{F} = - \boldsymbol{\nabla}U </math>

Mens [[elektrisk kraft|elektriske krefter]] i [[elektrostatikk]]en er konservative, er derimot [[Lorentzkraft|magnetiske krefter]] ikke konservative. Gjennom [[relativitetsteori]]en er begge kreftene forbundet og kan beskrives på en enhetlig måte. Dette gjøres ved å innføre et [[kovariant relativitetsteori#Ladet partikkel i elektromagnetisk felt|firervektorpotensial]] som inneholder både det [[elektrisk potensial|elektriske potensialet]] og det [[magnetisk felt|magnetiske vektorpotensialet]].<ref name = Griffiths/>

===Energibevarelse===

Et fysisk system som er styrt av konservative krefter, har en total energi som er uforandret ettersom det forandrer seg med tiden. For et ikke-relativistisk system følger det direkte fra [[Newtons andre lov]] som bestemmer denne tidsutviklingen. Det kan enklest vises når systemet består av kun en partikkel med masse ''m'' som påvirket av en konservativ kraft. Bevegelsesligningen uttrykt ved hastigheten '''v''' kan da skrives som  {{nowrap|''md''&thinsp;'''v'''/''dt'' {{=}} - '''&nabla;'''''U''}}. I et infinitesemalt lite tidsrom ''dt'' vil partikkelen bevege seg en tilsvarende liten strekning {{nowrap|''d''&thinsp;'''r''' {{=}} '''v''&thinsp;'''dt''}}. Multipliseres denne med bevegelsesligningen, kan den omskrives til {{nowrap|''m''/2''dv''<sup>2</sup> {{=}} - '''&nabla;'''''U''&sdot;''d''&thinsp;'''r'''}} = -''dU'' etter å ha benyttet at {{nowrap|'''v'''&sdot;''d''&thinsp;'''v''' {{=}} (1/2)''d''('''v'''&sdot;'''v''')}} =  {{nowrap|(1/2)''dv''<sup>2</sup>}}. Beveger partikkelen seg nå et endelig strekning  '''r'''<sub>1</sub> &rarr; '''r'''<sub>2</sub> slik at dens hastighet forandres med '''v'''<sub>1</sub> &rarr; '''v'''<sub>2</sub> , finner man så ved direkte integrasjon at

: <math>  {m\over 2} \int_{\mathbf{v}_1}^{\mathbf{v}_2} dv^2 = {m\over 2}\Big(v_2^2-  v_1^2\Big) =  -\int_{\mathbf{r}_1}^{\mathbf{r}_2}\boldsymbol{\nabla}U\cdot d\mathbf{r} =  U(\mathbf{r}_1) - U(\mathbf{r}_2) </math>

Dette betyr at den totale energien, som her består av summen av kinetisk og potensiell energi, er konstant under bevegelsen,

: <math>  {1\over 2}m\mathbf{v}_1^2 + U(\mathbf{r}_1) = {1\over 2}m\mathbf{v}_2^2 + U(\mathbf{r}_2) </math>

Man sier at den totale energien er konservert eller bevart. Dette er den mekaniske delen av det mer generelle [[energiprinsippet]].<ref name = Serway/>

===System med flere partikler===

Består systemet av mange partikler, vil den totale, [[kinetisk energi|kinetiske energien]] alltid være summen av de kinetiske energiene til hver av partiklene. Hvis de har masser ''m<sub>a</sub>, ''m<sub>b</sub> etc samt hastigheter  '''v'''<sub>''a''</sub>, '''v'''<sub>''b''</sub> etc, har de da til sammen den kinetiske energien

: <math> K = {1\over 2}m_a\mathbf{v}_a^2 + {1\over 2}m_b\mathbf{v}_b^2 + \cdots </math>

Dette gjelder også for deres totale, potensielle energi såfremt det er ingen krefter som virker mellom partiklene. De vil da kun påvirkes av et ytre kraftfelt ''U''('''r'''). Hvis deres posisjoner er angitt ved vektorene '''r'''<sub>''a''</sub>, '''r'''<sub>''b''</sub> etc, er den totale, potensielle energien til systemet

: <math> U = U(\mathbf{r}_a) + U(\mathbf{r}_b) + \cdots </math>

Kraften som virker på partikkel ''a'', er fremdeles gitt som '''F'''<sub>''a''</sub> = - '''&nabla;'''<sub>''a''</sub>''U''&thinsp; hvor derivasjonen i [[nabla-operator]]en er tatt med hensyn til koordinatene som bestemmer posisjonen '''r'''<sub>''a''</sub>. Det er det samme som først å beregne {{nowrap|'''F''' {{=}} - '''&nabla;'''''U''&thinsp;}} og så sette {{nowrap|'''r''' {{=}} '''r'''<sub>''a''</sub>.}} I dette tilfellet er den totale energien til hver partikkel {{nowrap|''E<sub>a</sub>'' {{=}} ''K<sub>a</sub>'' + ''U<sub>a</sub>''&thinsp;}} konstant som betyr at også den totale energien til systemet ''E = E<sub>a</sub> + E<sub>b</sub>'' + ... er bevart. Bevegelsen til alle partiklene kan nå finnes fra bevegelsen til en av partiklene. De beveger seg uavhengig av hverandre.

Mye mer komplisert er et system hvor hver partikkel er påvirket av alle de andre partiklene. Den kinetiske energien kan fremdeles skrives på samme måte, mens den potensielle energien er bare en eller annen funksjon

: <math> U = U(\mathbf{r}_a, \mathbf{r}_b, \ldots) </math>

av koordinatene til alle partiklene som avhenger av hva slags krefter som opptrer. Men oftest viser det seg at man kan med stor nøyaktighet anta at kraften som virker mellom to partikler er upåvirket av de andre partiklene. Slike krefter kalles '''tolegemekrefter''' og ble studert allerede av [[Newton]].<ref name = YF/> Da kan den totale, potensielle  energien til systemet skrives som

: <math> U = \sum_{a < b} U(\mathbf{r}_a - \mathbf{r}_b) </math>

hvor funksjonen ''U''(''r'') bare avhenger av avstanden mellom partiklene ''a'' og ''b''. Den beskriver deres «vekselvirkningsenergi» og er bestemt av kreftene som virker mellom to partikler. Med slike gjendige vekselvirkninger er kun den totale energien {{nowrap|''E'' {{=}} ''K'' + ''U''&thinsp;}} til alle partiklene bevart, mens energien til hver enkelt partikkel ikke lenger er konstant.