Redigerer Pauli-ligning (avsnitt)

==Gyromagnetiske forhold==

Et gitt magnetfelt '''B''' kan uttrykkes ved forskjellige vektorpotensial '''A''' som er forbundet ved [[gaugetransformasjon]]er. Det gjør det mulig å forlange at det skal ha egenskapen '''&nabla;'''&sdot;'''A''' = 0. Da kan man skrive at '''p'''&sdot;'''A''' = '''A'''&sdot;'''p''' som ellers ikke ville være tillatt da '''p''' er en operator som virker på alt som står til høyre for seg. Når magnetfeltet '''B''' i tillegg er konstant, kan vektorfeltet skrives på den enkle måten

: <math> \mathbf{A} = {1\over 2}\mathbf{B}\times\mathbf{r} </math>

som er en annen fordel med denne «Coulomb-gaugen». Dermed blir 

: <math>  \mathbf{p}\cdot\mathbf{A} + \mathbf{A}\cdot\mathbf{p} = 2\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} = \mathbf{B}\cdot\mathbf{L} </math>

hvor <math> \mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p} </math> er [[Kvantisert dreieimpuls|dreieimpulsen]] til partikkelenn. Hamilton-operatoren i Pauli-ligningen blir nå

: <math> H = {1\over 2m} \mathbf{p}^2 - {e\over 2m}\mathbf{B}\cdot(\mathbf{L} + 2\mathbf{S}) + {e^2\over 8m}(\mathbf{B}\times\mathbf{r})^2  </math>

der spinnoperatoren til partikkelen er <math> \mathbf{S} = (\hbar/2) \boldsymbol{\sigma} </math> og det elektriske potensialet er satt lik null.<ref name = Sakurai/>

Det midtre leddet viser at magnetfelt '''B''' kobler direkte til partikkelens dreieimpuls '''L''' og spinn '''S''' som [[Magnetisk moment|magnetiske moment]]. Bidraget fra spinnet alene er

: <math> \boldsymbol{\mu}  =  g {e\over 2m}\mathbf{S} </math>

med ''g'' = 2 for det gyromagnetiske forholdet. Derimot er ''g'' = 1 for det tilsvarende bidraget fra den orbitale bevegelsen. Begge disse bidragene kan kombineres i [[Landés g-faktor]]. Da egenverdiene til ''S<sub>z</sub>'' = &pm;&thinsp;''ħ''/2, blir størrelsen av det magnetiske momentet langs ''z''-retningen gitt i enheter av «Bohr-magnetoner» {{nowrap|''&mu;<sub>B</sub>'' {{=}} ''eħ''/2''m<sub>e</sub>''}} for elektronet med masse ''m<sub>e</sub>''.

Eksperiment viser at ''g''-faktoren til elektronet er veldig nær ''g'' = 2. Aviket fra denne verdien kan forklares ved [[kvanteelektrodynamikk]] der også det elektromagnetiske feltet blir kvantisert.<ref name = MS> F. Mandl and G. Shaw, ''Quantum Field Theory'', John Wiley & Sons, New York (1984). ISBN 0-471-90650-6.</ref>

[[Proton]]et har også spinn ''s'' = 1/2 og skulle i prinsippet også kunne beskrives ved Pauli-ligningen. Men dets gyromagnetiske forhold er ikke ''g'' = 2, men derimot ''g<sub>p</sub>'' = 5.59. Dette forstås i dag ved at protonet er en sammensatt partikkel bestående av [[kvark]]er. Hver kvark har ''g'' = 2, men ulike ladninger. Det forklarer også at [[nøytron]]et har et magnetisk moment med ''g<sub>n</sub>'' = - 3.83 selv om dets totale, elektriske ladning er null.<ref name = BM> J.J. Brehm and W.J. Mullin, ''Introduction to the Structure of Matter'', John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.</ref>