Redigerer Parabel (avsnitt)

== Standardform i kartesiske koordinater ==

En standardform for parabelen, også kalt en kanoniske formen, er en ligning for de kartesiske koordinatene <math>(x,y)</math> som framkommer når <math>x</math>-aksen defineres langs parabelaksen,
<math>y</math>-aksen defineres parallelt med styrelinjen og [[origo]] velges i toppunktet for parabelen:<ref name=LAW1/>

:<math>y^2 = lx</math>

Ligningen har én parameter, her <math>l</math>.  Alternativt skrives ligningen ved hjelp av semi-latus rectum <math>p</math> eller med avstanden <math>a</math> mellom brennpunktet og toppunktet.
Det er også mulig å legge parabelaksen langs <math>y</math>-yaksen, slik at <math>x</math> og <math>y</math> bytter plass i ligningen.  

Standardformen kan utledes fra polarformen, ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:

:<math>
\begin{alignat}{2}
 x &= a + r \cos \theta \\
 y &= r \sin \theta \\
 r^2 &= (x - a)^2 + y^2 \\
\end{alignat}
</math>  

Standardformen med origo i toppunktet kan skrives som en [[parameterfremstilling|parameterframstilling]] på formen

:<math>x(t) = at^2  \qquad   y(t) = 2at  \qquad  t \in (-\infty, \infty) </math>

En alternativ kanonisk form framkommer ved å legge origo i brennpunktet:<ref name=LAW1/>

: <math> y^2 = 4a(x + a) </math>