Redigerer P-adisk tall (avsnitt)

===Uendelige rekker===

For tallet -1 har man den ''p''-adiske utviklingen

: <math> -1 = (p - 1) (\overline{1})_p = (p-1) (1+ p + p^2 + \cdots) </math>

som er en [[divergent rekke]] og derfor ikke har en veldefinert sum. Men ordner man leddene på en litt annen måte, ser man at alle potenser av ''p'' kansellerer hverandre gjensidig. Derfor har man rent formelt summen

: <math> S = 1+ p + p^2 + \cdots = {1\over 1 - p} </math>

hvor leddene utgjør en [[geometrisk rekke]] der ''p'' > 1. Slike [[divergent rekke|divergente rekker]] ble først systematisk undersøkt av [[Leonhard Euler|Euler]].<ref name = Euler> L. Euler, [https://arxiv.org/pdf/1808.02841.pdf ''De Seriebus divergentibus''], (1760). Oversatt til engelsk.</ref> 

En lignende sum er

: <math> S' =  \cdots + {1\over p^2} + {1\over p} + 1+ p + p^2 + \cdots </math>

Når den multipliseres med ''p&thinsp;'', ser man at ''pS'&thinsp;'' = ''S'&thinsp;''. Da ''p'' > 1, er denne ligningen kun oppfylt når ''S'&thinsp;'' = 0. Samtidig utgjør den første delen av summen en konvergent, geometrisk rekke. Derfor er

: <math> S' = {1/p\over 1 - 1/p} + S = 0 </math>

som igjen betyr at ''S'' = 1/(1 - ''p''). Da denne summen inngår i alle ''p''-adiske ekspansjoner, må konvergens av slike divergente rekker gis et nytt innhold.<ref name = Burger/>