Redigerer Maxwell-Boltzmann statistikk (avsnitt)

===Maksimalisering===

For å finne maksimum av en funksjon, er det nødvendig å beregne  hvor dens [[Derivasjon|deriverte]] med hensyn på sine variable er null. Samme fremgangsmåte kan benyttes for å bestemme  hvilken fordeling av partikler som gir den største verdien for antallet ''W&thinsp;'' av mikrotilstander. Matematisk er det da en forenkling å maksimalisere den [[naturlig logaritme|naturlige logaritmen]] ln&thinsp;''W'', det vil si

: <math>  \ln W = \ln N!  +  \sum_r( n_r \ln g_r - \ln n_r!)  </math>

Da antall partikler ''N&thinsp;'' er meget stort, kan man her benytte [[Stirlings formel]] <math> \ln N! = N \ln N - N. </math> Den kan også benyttes for besettelsestallene ''n<sub>r</sub>&thinsp;''  da det forventes at disse også antar tilsvarende store verdier når systemet er i likevekt.<ref name = Lay/>

For å bestemme maksimum til den resulterende funksjonen

: <math> \ln W = N\ln N - \sum_r n_r \ln (n_r/g_r) </math>

kan man benytte samme metode som i [[variasjonsregning]] ved å betrakte konsekvensen av en liten variasjon <math> n_r \rightarrow n_r + \delta n_r </math> i besettelsestallene. Den resulterende forandringen i ''W&thinsp;'' blir da

: <math> \delta \ln W = -\sum_r \ln (n_r/g_r) \delta n_r</math>

etter å ha benyttet at <math> \delta N = \sum_r\delta n_r = 0 .</math> Ved maksimum må ''&delta;W&thinsp;'' være null for vilkårlige variasjoner 
''&delta;n<sub>r</sub>''. Men disse variasjonene er ikke helt uavhengig av hverandre da man må ta hensyn til at i tillegg til partikkeltalllet ''N&thinsp;'' er også totalenergien ''E&thinsp;'' konstant. Disse bibetingelsene kan inkludere i beregningen ved å innføre to tilsvarende [[Lagrange-multiplikator]]er ''&alpha;&thinsp;'' og ''&beta;'' slik at kravet til et maksimum for funksjonen ''W&thinsp;'' blir <math> \delta (\ln W - \alpha N- \beta E) = 0 . </math>  Det betyr at man må ha

: <math> \sum_r [ \ln (n_r/g_r) + \alpha + \beta E_r] \delta n_r = 0 </math>

der variasjonen <math> \delta E = \sum_r E_r \delta n_r </math> følger fra definisjonen av denne energien.  Det gir besettelsestallene

: <math> n_r = g_r e^{-\alpha - \beta E_r} </math>

som beskriver den makrotilstanden som har størst sannsynlighet med bruk av  Maxwell-Boltzmann statistikk.<ref name = Sears/>