Redigerer Matrisemekanikk (avsnitt)

==Helgoland==

Sommeren 1925 var Heisenberg tilbake i Göttingen. Han var nå overbevist om at man måtte forkaste alle gamle idéer om elektroner i klassiske baner som man aldri vil være i stand til å studere. En ny teori for atomene måtte kun inneholde observerbare størrelser som frekvenser til forskjellige spektrallinjer og deres intensitet.<ref name = Jammer/>

Da han der i juni fikk et kraftig angrep av [[høysnue]], reiste han ut til øya [[Helgoland]] hvor det var mindre [[pollen]]. Under dette korte oppholdet utarbeidet han grunnlaget for en ny kvanteteori basert på disse prinsippene. Han erstattet de klassiske Fourier-komponentene {{nowrap|''x<sub>k</sub>'' {{=}} ''x<sub>m-n</sub>&thinsp;''}} med nye, komplekse størrelser ''x<sub>mn</sub>''&thinsp; hvor begge tilstandene inngår på en likeverdig måte. Deres variasjon med tiden tok han fra korrespondanseprinsippet som gir sammenhengen

: <math> x_{m-n}e^{i(m-n)\omega t} \rightarrow x_{mn} e^{i\omega_{mn}t} </math>

hvor frekvensen ''&omega;<sub>mn</sub>&thinsp;'' skal være gitt ved differansen mellom energiene til de to tilstandene på den måten Einstein og Bohr hadde innført. Dynamiske variable i den nye teorien er nå størrelsene

: <math> x_{mn} (t) =  x_{mn} e^{i\omega_{mn}t} </math>

med en absoluttverdi |''x<sub>mn</sub>&thinsp;''| som bestemmer intensiteten av den tilsvarende spektrallinjen. De vil også inngå i [[Einsteins strålingskoeffisient|strålingskoeffisienter]] ''B<sub>mn</sub>&thinsp;'' til Einstein. Da disse er symmetriske i sine to indekser, må Heisenbergs variable ha egenskapen

: <math>  x_{mn}^* =  x_{nm} </math>

som også følger naturlig fra korrespondanseprinsippet.<ref name = Longair/>

Av to dynamiske variable ''x&thinsp;'' og ''y&thinsp;'' kan man beregne deres produkt ut fra kravet at (''xy'')<sub>''mn''</sub>&thinsp; også skal ha en variasjon med tiden gitt ved frekvensen ''&omega;<sub>mn</sub>''. Det fikk Heisenberg til å definere produktet som

: <math> (xy)_{mn}(t) = \sum_k x_{mk}(t) y_{kn}(t) = \sum_k x_{mk} y_{kn} e^{i\omega_{mn}t} </math>

Mer kompliserte produkt med flere faktorer kan på denne måten beregnes.

{{Sitat|In Helgoland war ein Augenblick, in dem es mir wie eine Erleichtung kam, als ich sah, dass die Energie zeitlich konstant war. Es war ziemlich spät in der Nacht. Ich rechnete es mühsam aus, und es stimmte. Da bin ich auf einen Felsen gestiegen und habe den Sonnenaufgang gesehen und war glücklich.|Heisenberg til van der Waerden.<ref>B.L. van der Waerden, ''Erinnerungen an Werner Heisenberg'', Phys. Blätter '''47''' (12), 1079 (1991). [https://onlinelibrary.wiley.com/doi/epdf/10.1002/phbl.19910471214 PDF]</ref>}}

===Kvantisering===
Istedenfor å beskrive et [[hydrogenatom]] med denne nye kvantemekanikken, valgte Heisenberg å betrakte et enklere system med en partikkel som beveger seg  kun i én dimensjon under påvirkning av en kraft som i det enkleste tilfellet er [[harmonisk oscillator|harmonisk]]. Den klassiske energien til partikkelen kan dermed skrives som

: <math> E = {1\over 2} p^2 + {1\over 2}\omega^2 x^2  </math>

hvor [[bevegelsesmengde|impulsen]] til partikkelen er gitt ved den tidsderiverte {{nowrap|''p'' {{=}} ''dx''/''dt''}}. Energien er en funksjon av de dynamisk variable ''x&thinsp;'' og ''p&thinsp;'' som kalles [[Hamilton-mekanikk#Hamiltons ligninger|Hamilton-funksjonenen]] ''H''(''x,p'')&thinsp; for partikkelen.

Heisenberg oversatte denne klassiske beskrivelsen til å bestemme de nye, dynamiske variable ''x<sub>mn</sub>''&thinsp; og ''p<sub>mn</sub>''&thinsp; fra 

: <math>  H_{mn} = {1\over 2} (p^2)_{mn} + {1\over 2}\omega^2 (x^2)_{mn} </math>

Selv om begge leddene her på høyre side varierer med tiden, må summen av dem likevel være konstant på grunn av at energien til systemet ikke forandrer seg med tiden. De kvantiserte energiene ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' er gitt ved venstre side av ligningen som skal være ''E<sub>n</sub>&thinsp;'' når ''m = n'' og null hvis indeksene er forskjellige. Ved bruk av [[Kronecker-delta|Kroneckers deltasymbol]] kan dette kravet skrives som {{nowrap|''H<sub>mn</sub>'' {{=}} ''E<sub>n</sub>''&thinsp;''&delta;<sub>mn</sub>''&thinsp;}} som nå er et uttrykk for energiens bevarelse.<ref name = BLvdW/>

De kvantemekaniske variable ''x<sub>mn</sub>''&thinsp; og ''p<sub>mn</sub>''&thinsp; er ikke uavhengige av hverandre da

: <math> p_{mn}(t) = {d\over dt} x_{mn}(t) = i\omega_{mn}  x_{mn}(t) </math>

Dette medfører at de er forbundet gjennom de fundamentale kvantiseringsbetingelsene

: <math> \sum_k (x_{nk}p_{kn}  - p_{nk}x_{kn}) = i\hbar </math>

som skal gjelde for alle tilstander karakterisert ved kvantetallet ''n''. Heisenberg kom frem til dem ved bruk av  en [[Dispersjon (optikk)#Thomas-Reiche-Kuhn summeregel|summeregel]] som var blitt oppdaget i forbindelse med [[Dispersjon (optikk)|optisk dispersjon]]. Ved å innsette her ''p<sub>kn</sub>''&thinsp; uttrykt ved ''x<sub>kn</sub>'', tar den formen

: <math>   2\sum_k \omega_{kn}|x_{nk}|^2 = \hbar .</math>

Allerede under oppholdet på Helgoland gikk Heisenberg i gang med å beregne energien til oscillatoren når den i tillegg er under påvirkning av en svak, ikke-harmonisk kraft. I nyere tid er detaljene ved disse mer kompliserte beregningene grundig gjennomgått.<ref name = Aitchson>I.J.R. Aitchison et al, [https://arxiv.org/pdf/quant-ph/0404009.pdf ''Understanding Heisenberg’s ‘magical’ paper of July 1925: A new look at the calculational details''], Am. J. Phys. '''72''', 1370–1379 (2004).</ref>