Redigerer Magnetostatikk (avsnitt)

===Sirkulær strømsløyfe===

Det magnetiske vektorpotensialet fra en sirkulær strømsløyfe kan beregnes ved elementære integrasjoner. Da den utgjør en [[kurve]] som fører en strøm ''I'', kan man skrive det differensielle strømelementet som

:<math> \mathbf{J}\,d^3x \rarr Id\mathbf{s} </math>

hvor ''d''&thinsp;'''s''' er et differensielt linjeelement langs kurven. For en [[sirkel]] med radius ''a'' som ligger i ''xy''-planet, er da

: <math> d\mathbf{s} = a (-\sin\alpha\,\mathbf{e}_x + \cos\alpha\,\mathbf{e}_y) d\alpha </math>

hvor vinkelen ''&alpha;'' angir et punkt på sirkelen. Dette kildepunktet er dermed {{nowrap|'''r'&thinsp;''' {{=}} ''a''(cos''&alpha;''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + sin''&alpha;''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub>)}}. Tilsvarende kan feltpunktet angis ved to [[polarkoordinatsystem|polare]] vinkler ''&theta;'' og ''&phi;'' som '''r''' = ''r''(sin''&theta;'' cos''&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''x''</sub> + sin''&theta;'' sin''&phi;''&thinsp;'''e'''<sub>''y''</sub> + cos''&theta;''&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub>).

Monopolbidraget til vektorpotensialet blir nå

: <math> {\mu_0 I\over 4\pi r} \int_0^{2\pi}\!d\alpha\, a(-\sin\alpha\,\mathbf{e}_x + \cos\alpha\,\mathbf{e}_y)  = 0 </math>

da både integralet av sinus og cosinus over en full periode er null. Dette er det forventede resultatet. Men dipolbidraget forsvinner ikke. Her er

: <math> \mathbf{r}\cdot \mathbf{r'} = ar(\sin\theta\cos\phi\cos\alpha + \sin\theta\sin\phi\sin\alpha) </math>

Multipliserer man dette med ''d''&thinsp;'''s''' og igjen integrerer over en full periode av vinkelen ''&alpha;'', vil begge integralene

: <math>  \int_0^{2\pi}\!d\alpha \sin^2\alpha =  \int_0^{2\pi}\!d\alpha \cos^2\alpha = \pi </math>

bidra, mens integralet av kryssleddet sin''&alpha;''&thinsp;cos''&alpha;'' er null. På denne måten gir dipoltermen det totale bidraget

: <math> \oint\!d\mathbf{s} (\mathbf{r}\cdot \mathbf{r'}) = \pi a^2 r(-\sin\theta\sin\phi\,\mathbf{e}_x + \sin\theta\cos\phi\,\mathbf{e}_y) = \mathbf{m}\times \mathbf{r} </math>

hvor det magnetiske momentet til strømsløyfen er '''m''' = ''&pi;&thinsp;a''<sup>2</sup>&thinsp;'''e'''<sub>''z''</sub> i overensstemmelse med hva som følger fra den mer generelle utledningen av vektorpotensialet.