Redigerer Magnetisk flukskvant (avsnitt)

==Topologisk kvantisering==

Egenskapene til en superleder kan beskrives ved [[Ginzburg-Landau-teori]]. Den er formulert ved en [[komplekst tall|kompleks]] «ordensparameter»

: <math> \Psi(\mathbf{r}) = \sqrt{n_s} e^{i\theta(\mathbf{r})} </math>

hvor ''n<sub>s</sub>&thinsp;'' er tettheten av superledende ladningsbærere med elektrisk ladning ''q'' og masse ''m'', mens ''&theta;'' er en kompleks faseparameter. Denne kan i hvert punkt økes med et helt antall 2''&pi;&thinsp;'' uten at &Psi; forandrer seg.<ref name = RPF>R.P. Feynman, [http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_21.html ''Lectures on Physics'', Vol III], Caltech, Pasadena (2013).</ref>

Når superlederen er i et ytre [[magnetfelt]] {{nowrap|'''B''' {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A'''}} oppstår det i en elektrisk strøm som er generelt kan skrives som<ref name = Tinkham>M. Tinkham, ''Introduction to Superconductivity'', Dover Books, New York (2004). ISBN 978-0-486-43503-9.</ref>

: <math> \mathbf{J}_s = \frac{q}{m}\hbar \, \text{Re} \left[\Psi^*(-i\hbar\boldsymbol{\nabla} - q \mathbf{A}) \Psi \right] </math>

Dette forenkles til

: <math> \mathbf{J}_s = \frac{q}{m}\left(\hbar\boldsymbol{\nabla}\theta - q \mathbf{A}\right)n_s </math>

når man antar at den tettheten ''n<sub>s</sub>&thinsp;'' er konstant. Denne elektriske strømmen finnes bare i et tynt sjikt nær superlederens overflate.

Betrakter man nå en lukket [[kurve]] ''C'' =  &part;''S'' inne i superlederen, vil man derfor ha {{nowrap|'''J'''<sub>''s''</sub> {{=}} 0&thinsp;}} langs denne. Dermed er det tilsvarende [[linjeintegral]]et av strømtettheten langs kurven også lik null slik at

: <math> \hbar \oint_{\partial S}\!d\mathbf{r}\cdot \boldsymbol{\nabla}\theta = q\oint_{\partial S}\!d\mathbf{r}\cdot\mathbf{A} </math>

Integralet på høyre side kan ved hjelp av [[Stokes' teorem]] omskrives til

: <math> \oint_{\partial S}\!d\mathbf{r}\cdot\mathbf{A} = \int_S\!d\mathbf{S}\cdot (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \int_S\!d\mathbf{S}\cdot\mathbf{B}</math>

Mens det er den [[magnetisk fluks|magnetiske fluksen]] &Phi; som går gjennom flaten ''S'' som kurven &part;''S'' omslutter, er integralet til venstre ganske enkelt likt med differansen

: <math> \oint_{\partial S}\!d\mathbf{r}\cdot \boldsymbol{\nabla}\theta = \oint_{\partial S}\! d\theta = \theta' - \theta </math>

i ''&theta;''-verdien i samme punkt etter å ha gått rundt den lukkete kurven &part;''S''. Hvis denne kan kontinuerlig deformeres til en stadig mindre kurve som til slutt blir forsvinnende liten, vil forskjellen {{nowrap|''&theta;' - &theta;'' {{=}} 0&thinsp;}} som er i overenstemmelse med at fluksen gjennom kurven {{nowrap|&Phi; {{=}} 0}}. Men hvis superlederen inneholder en endelig åpning eller område som ikke er superledende og kurven omslutter dette området, kan ikke kurven deformeres til null. Superlederen har da en ikke-triviell [[topologi]], og differansen vil i allminnelighet være {{nowrap|''&theta;' - &theta;'' {{=}} 2''&pi;&thinsp;n''}} hvor ''n'' er et helt tall. Det betyr at fluksen gjennom dette området kun kan ha verdiene

: <math> \Phi = {h\over q} n ,\;\;\; n = 0, 1, 2 ,3\ldots </math>

Fluksen er derfor et helt multiplum av flukskvantet &Phi;<sub>0</sub> = ''h''/''q''&thinsp; hvor i en normal superleder ''q'' = 2''e''. Dette kalles vanligvis for «topologisk kvantisering» da disse diskrete verdiene oppstår for en makroskopisk størrelse som magnetisk fluks og ikke skyldes direkte [[kvantemekanikk|kvantemekanisk]] [[kvantisering]] av mikroskopiske variable.<ref name = RPF/>