Redigerer Landés g-faktor (avsnitt)

==Kvantemekanikk==
Den klassiske formen til uttrykket for ''g''-faktoren vil bli bevart ved overgang til [[kvantemekanikk]] da det er basert på den lineære sammenhengen mellom vektoroperatorene '''L''', '''S''' og '''J'''. Men størrelsen av dem vil være bestemt ved de tilsvarende kvantetallene. For en tilstand spesifisert ved kvantetallene ''j&thinsp;'' og ''m'', vil '''J'''<sup>2</sup> være gitt som {{nowrap| ''j''(''j'' + 1)''ħ''<sup>2</sup>}} hvor ''ħ'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]], mens ''J<sub>z</sub>&thinsp;'' tar verdiene ''mħ''. Tilsvarende gjelder for  '''L'''<sup>2</sup> og  '''S'''<sup>2</sup> uttrykt ved sine kvantetall ℓ og ''s'', det vil si  {{nowrap|'''L'''<sup>2</sup> {{=}} ℓ(ℓ + 1)''ħ''<sup>2</sup>}} og {{nowrap|'''S'''<sup>2</sup> {{=}} ''s''(''s'' + 1)''ħ''<sup>2</sup>}}. Derimot har komponentene  ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>&thinsp;'' ingen bestemte verdier i en slik tilstand spesifisert med kvantetallene  ''j&thinsp;'' og ''m''.

Det kvantemekaniske uttrykket for ''g''-faktoren blir dermed

: <math> g_j =  1 + \frac{\,j(j+1) +s(s+1) - \ell(\ell+1)}{2j(j+1)} </math>

For et elektron er ''s'' = 1/2 slik at  ''s''(''s'' + 1) = 3/4. De to tilstandene med ''j'' = ℓ &plusmn; 1/2 har derfor ''g''-faktorer som i begge tilfellene kan skrives som

: <math> g_j = {2j+1\over 2l+1} </math>

Som et enkelt eksempel, kan man betrakte ''p''-tilstander som er karakterisert ved orbitalt spinn ℓ = 1. Tilstanden P<sub>1/2</sub> med ''j'' = 1/2, har derfor {{nowrap|''g''<sub>1/2</sub> {{=}} 2/3}}, mens tilstanden {{nowrap|P<sub>3/2</sub>}}  med {{nowrap|''j'' {{=}} 3/2}} har {{nowrap|''g''<sub>3/2</sub> {{=}} 4/3}}.

===Clebsch-Gordan-koeffisienter===

Egentilstandene for spinnoperatoren '''J''' kan uttrykkes ved egentilstandene for operatorene '''L''' og '''S''' ved bruk av «Clebsch-Gordan-koeffisienter». Mens de første kan betegnes ved <math> |j,m\rangle</math> der

: <math> \mathbf{J}^2|j,m\rangle = j(j+1)\hbar^2 |j,m\rangle , \;\;\; J_z |j,m\rangle = m\hbar |j,m\rangle </math>,

kan de andre skrives som <math> |\ell,s;m_\ell,m_s\rangle </math> med tilsvarende egenverdier for  '''L'''<sup>2</sup>, '''S'''<sup>2</sup>, ''L<sub>z</sub>&thinsp;'' og ''S<sub>z</sub>'' som tar verdiene ''m<sub>s</sub>'' = &plusmn;1/2 for elektronspinn ''s'' = 1/2. [[Kvantisert dreieimpuls#Addisjon av dreieimpulser|Egentilstandene]] for gitt totalspinn ''j'' = ℓ &plusmn; 1/2 er da

: <math>\begin{align} |j = \ell + 1/2,m\rangle &= \sqrt{\ell + m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m - 1/2, 1/2 \rangle  + \sqrt{\ell - m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m + 1/2, -1/2 \rangle \\ 
 |j = \ell - 1/2,m\rangle &= - \sqrt{\ell - m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m - 1/2, 1/2 \rangle  + \sqrt{\ell + m +1/2\over 2\ell + 1} |\ell,s;m + 1/2, -1/2 \rangle \end{align} </math>

Den magnetiske energien til elektronet er gitt ved matriseelementet av operatoren  {{nowrap|''L<sub>z</sub>'' + 2''S<sub>z</sub>'' {{=}} ''J<sub>z</sub>'' + ''S<sub>z</sub>&thinsp;''}} i disse to tilstandene. Mens ''J<sub>z</sub>&thinsp;'' ganske enkelt gir ''mħ'', kan matriselementet av ''S<sub>z</sub>'' nå  også regnes nøyaktig ut,

: <math> \begin{align}\langle j = \ell \pm 1/2, m\rangle |S_z | j = \ell \pm 1/2,m \rangle &= \hbar {(\ell \pm m + 1/2) (+1/2) + (\ell \mp m + 1/2)(-1/2)\over 2\ell + 1}\\ 
 &= \pm \hbar {m\over 2\ell + 1} \end{align} </math>

De forskjellige projeksjonene av spinnvektorene i den klassiske beskrivelsen erstattes derfor med kombinasjoner av kvadrerte Clebsch-Gordan-koeffisienter når man bruker kvantemekanikk. Men resultatet for ''g''-faktoren

: <math> g_{j = \ell \pm 1/2} = 1 \pm {1\over 2\ell + 1} = {2j + 1\over 2\ell + 1} </math>

er det samme for denne med bare et elektron som kobler til magnetfeltet.<ref name="Schwabl"> F. Schwabl, ''Quantum Mechanics'', Springer-Verlag, Berlin (1990). ISBN 0-387-54217-5.</ref>