Redigerer Kvantisert Hall-effekt (avsnitt)

==Kvantisert syklotronbevegelse==

For et magnetisk ''B''-felt langs ''z''-aksen vil et ellers fritt elektron bevege seg i en sirkel i ''xy''-planet med en omløpstid gitt ved   er [[Lorentz-kraft#Syklotronbevegelse|syklotronfrekvensen]] {{nowrap|''&omega;<sub>c</sub>'' {{=}} ''eB''/''m''}}. Radius til sirkelen er bestemt av elektronets energi som kan anta kontiuerlige verdier i klassisk mekanikk. Derimot vil bruk av [[kvantemekanikk]] vise at energien til denne bevegelsen kun tar diskrete verdier

: <math> E_n = (n + 1/2)\hbar\omega_c </math>

hvor ''ħ'' = ''h''/2''&pi;&thinsp;'' er den reduserte [[Plancks konstant|Planck-konstanten]] og [[kvantetall]]et ''n'' = (0, 1, 2, 3, ...). Dette kalles [[Landau-kvantisering]] som gyldig ned til null [[kelvin]]grader.<ref name = DW>R.H. Dicke and J.P. Wittke, ''Introduction to Quantum Mechanics'', Addison-Wesley Pubishing, Reading, Massachusetts (1960).</ref>

Syklotronbevegelsen til elektronet er nå beskrevet ved en bølgefunksjon som er sentrert i et visst punkt som tilsvarer det klassiske sentrum til en sirkel. På grunn av [[Paulis eksklusjonsprinsipp]] kan ikke flere elektroner i samme energitilstand befinne seg i samme punkt. Det betyr at antall elektroner som kan ha samme energi, må være proporsjonalt med arealet til planet de befinner seg i. Vanligvis uttrykkes det ved at hver slik Landau-tilstand har en degenerasjonsgrad {{nowrap|''D'' {{=}} ''eB''/''h''}} som er den maksimale tetthet av elektroner det er plass til med denne energien. Den kan skrives som {{nowrap|''D'' {{=}} ''B''/&Phi;<sub>0</sub>}} etter å ha innført verdien {{nowrap|&Phi;<sub>0</sub> {{=}} ''h''/''e''}} av et [[magnetisk flukskvant]].<ref name="Kittel">C. Kittel, ''Quantum Theory of Solids'', John Wiley & Sons, New York (1987). ISBN 978-0-471-62412-7.</ref>

I en [[halvleder]] som blir brukt ved målinger av Hall-effekten, vil det alltid være litt forurensing i materialet eller termiske svingninger av atomgitteret som elektronene befinner seg i. Det vil forårsake kollisjoner som vil forstyrre [[Lorentz-kraft#Syklotronbevegelse|syklotronbevegelsen]] slik at de diskrete Landau-nivåene ikke opptrer. Men når et elektron rekker å gå rundt flere ganger mellom hver kollisjon, vil de bli avgjørende for ladningstransporten. Betingelsen for det er at ''&omega;<sub>c</sub>&tau;'' >> 1 som må være oppfylt for at den kvantiserte Hall-effekten skal bli eksperimentelt synlig. Det betyr sterke magnetfelt og lang kollisjonstid, det vil si meget rene materialer ved lave temperaturer.

===Bølgefunksjoner===
På samme måte som de eksakte energiene til de forskjellige Landau-nivåene, kan også de tilsvarende egenfunksjonene finnes. De er de samme som for en kvantisert [[harmonisk oscillator]] i to dimensjoner. For et elektron i den laveste energitilstanden ''n'' = 0 er bølgefunksjonen spesielt enkel og kan skrives som<ref name = DW/>

: <math> \psi_m(z) = z^m e^{-zz^*/4\ell_B^2} </math>

hvor   ''z'' = ''x'' + ''iy&thinsp;'' og [[kvantetall]]et  ''m'' &ge; 0 kan forstås som en kvantisert [[dreieimpuls]] til den tilsvarende, klassiske syklotronbevegelsen i en sirkel. Den magnetiske lengden

: <math> \ell_B = \sqrt{\hbar\over eB} </math>

setter størrelsen av radius til denne sirkelen med laveste energi ''E''<sub>0</sub>  =  ''ħ&omega;<sub>c</sub>&thinsp;''/2, uavhengig av kvantetallet ''m''. Det er denne uavhengigheten som gir degenerasjonsgraden av energinivået.

Elektroner er [[fermion]]er og må oppfylle [[Paulis eksklusjonsprinsipp]]. Når det laveste Landau-nivået inneholder flere elektroner, må derfor den totale bølgefunksjonen være antisymmetrisk. Det betyr at hver partikkel må ha forskjellig verdi av kvantetallet ''m''. Bølgefunksjonen kan da skrives som en [[determinant|Slater-determinant]]. For eksempel med ''N'' = 3 elektroner i det laveste Landau-nivået tar den formen

: <math> \begin{align} \Psi_0(z_1, z_2, z_3) &=
  \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1  \\
                   z_1 & z_2 & z_3  \\
                   z_1^2   & z_2^2  & z_3^2  
\end{vmatrix}  e^{-zz^*/4\ell_B^2} \\ &= (z_2z_3^2 - z_2^2z_3 - z_1z_3^2 + z_1^2z_3 + z_1z_2^2 - z_1^2z_2)e^{-zz^*/4\ell_B^2} = \prod_{i<j}(z_i - z_j) e^{-zz^*/4\ell_B^2}
 \end{align}
</math>

Det er nå trivielt å generalisere denne siste produktformen av bølgefunksjonen til å gjelde for et vilkårlig antall ''N'' med elektroner i laveste Landau-nivå. Den viser eksplisit at ved å bytte om to elektroner skifter bølgefunksjonen fortegn som den skal for [[Fermi-Dirac statistikk]]. Når alle elektronene fyller nøyaktig opp dette energinivået, har man Hall-motstanden med fyllingsgrad ''&nu;'' = 1.

===IQHE===

Det som tilsvarer fulle [[elektronskall]] i [[atomfysikk]]en, er fulle Landau-nivå her. Hvis et ekstra elektron skal da inn i systemet, må dette plasseres i et høyere energinivå. Dette tilsvarer energigapet
''ħ&omega;<sub>c</sub>'' mellom Landau-nivåene. Man forventer derfor at systemet utviser en form for stabilitet når tettheten av elektroner ''n'' er slik at nøyaktig et helt antall ''&nu;'' av Landau-nivå er fulle. Siden hvert nivå har plass til ''D'' elektroner per flateenhet, må man da ha ''n = &nu;D''. Innsatt i uttrykket {{nowrap|''&rho;<sub>xy</sub>'' {{=}} ''B''&thinsp;/''en''&thinsp;}} for Hall-motstanden, blir da denne

: <math> \rho_{xy} = {B\over e\nu D} =  {B\over e\nu\cdot eB/h} = {h\over\nu e^2} </math>

For verdiene  ''&nu;'' = (1,2,3, ...) av fyllingsgraden er nå dette akkurat de kvantiserte verdiene for denne motstanden som karakteriserer den heltallige Hall-effekten IQHE. Fra denne enkle utledningen kunne en forvente at den minste forandring av temperatur eller renhetsgrad av materialet ville også forandre disse presise verdiene. Men [[Robert B. Laughlin|Robert Laughlin]] har vist at de er upåvirket av slike forhold og forblir eksakte da den kvantiserte Hall-effekten er invariant undere elektromagnetisk [[gaugetransformasjon]]er.<ref name = Klitzing/>

Men det er egenskapene til et virkelig materiale med dets krystallstruktur, defekter og urenheter som er årsaken til at de kvantiserte verdiene av motstanden arter seg som konstante stepp med en endelig lengde når magnetfeltet varierer bort fra en av de spesielle verdiene som tilsvarer fulle Landau-nivå. Det vil da åpne seg nye kvantetilstander med nærliggende energi, men disse vil over et visst intervall tilsvare lokalisert bevegelse av elektronene som ikke bidrar til ledningsevnen. Derfor vil Hall-motstanden utgjøre et flatt nivå med en konstant verdi helt til det åpner seg nye kvantetilstander som kan bidra til den elektriske strømmen. Den transverse motstanden hopper da opp til neste stepp. På samme måte vil de de lokaliserte kvantetilstandene også bidra til at strømmen i ''x''-retning ikke blir utsatt for noen spredning. Derfor vil den longitudinale motstanden {{nowrap|''&rho;<sub>xx</sub>'' {{=}} 0&thinsp;}} samtidig med at ''&rho;<sub>xy</sub>&thinsp;'' tar sine kvantiserte verdier.<ref name = Goerbig/>